数学建模培训-微分方程(2008年3月).pptVIP

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微分方程模型;一、什么是微分方程？;引例一曲线通过点〔1，2〕，且在该曲线任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程。;答复什么是微分方程：;二、微分方程的解法;可别离变量的微分方程;例1求解微分方程;过定点的积分曲线;;例2.解初值问题;练习题;;练习题答案;三、建立微分方程数学模型;1、简单的数学模型;;实际问题需寻求某个变量y随另一变量t的

变化规律：y=y(t).;在工程实际问题中;建立微分方程模型时;例1铀的衰变规律问题：放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量不断的减少，这种现象称为衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，已知t＝0时刻铀的含量为，求在衰变过程中铀的含量M（t）随时间t的变化规律。;铀的衰变速度就是对时间t的导数，;例2一个较热的物体置于室温为180c的

房间内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后

降到500c.想知道它的温度降到300c需要多少时

间？10分钟以后它的温度是多少？;牛顿冷却〔加热〕定律：将温度为T的物体

放入处于常温m的介质中时，T的变化速率

正比于T与周围介质的温度差.;“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”;ln(T－m)=－kt+c,;另一个例子：物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．;例3：物体在空气中冷却的速率与该物体及空气两者温度的差成正比．设有一瓶热水，水温原来是100℃，空气的温度是20℃，经过20小时以后，瓶内水温降到60℃，求瓶内水温的变化规律．;对(1)式别离变量，得;二.利用平衡与增长式;解;的通入量;二.利用平衡与增长式;在很短的时间段Δt内，关于N(t)变化的一个

最简单的模型是：;三.微元法;例一个高为2米的球体容器里盛了一半

的水，水从它的底部小孔流出，小孔的横截面

积为1平方厘米.试求放空容器所需要的时间.;分析：;S—孔口横截面积〔单位：平方厘米〕;在[t，t+Δt]内，水面高度h(t)降至h+Δh

(Δh0),容器中水的体积的改变量为;dV=－πr2dh，〔2〕;另一个例子;设在微小的时间间隔;即为未知函数的微分方程.;四.分析法;*2.商品销售率〔销售加速度〕随商品销售

速度的增高而降低；;直接建立微分方程;假设1*;2、复杂的数学模型;背景;常用的计算公式;指数增长模型——马尔萨斯提出(1798);模型检验;指数增长模型的应用及局限性;阻滞增长模型(Logistic模型);阻滞增长模型(Logistic模型);模型的参数估计;模型检验;1、指数增长模型〔马尔萨斯人口模型〕英国人口学家马尔萨斯〔Malthus1766~1834〕于1798年提出。;两方军队交战,希望为这场战斗建立一个数学

模型，应用这个模型到达如下目的：;模型建立：;平衡式;