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锐角三角函数中的常见错误

课本所述的锐角三角函数是锐角的正弦〔锐角的对边与斜边的比〕、余弦〔锐角邻边与斜边的比〕和正切〔锐角所对的直角边与锐角邻边的比〕.对于锐角三角函数仅从正面理解是不够的，本文通过四个反例，帮助读者透析锐角三角函数的概念.

1、无视锐角三角函数符号意义——错把“符号”当“运算”

例1、以下命题①sinα表示角α与符号sin的乘积；②在△ABC中，假设∠C=90°，那么c=αsinA成立；③任何锐角的正弦和余弦值都是介于0和1之间实数.其正确的为〔〕

A、②③B.①②③C.②D.③

错解选B

分析：sinα是一个数学符号,就象△ABC一样，不能理解为△与ABC是积的关系.因此①错；在△ABC中，假设∠C=90°，那么sinA=,c=,所以②不正确；所以A、B和C均不正确，而③正确.所以正确答案是选D.

注意:sinα·sinα=(sinα)2可以写成sin2α的形式.其它类推.

2、无视锐角三角函数值与角的关系——误把“无关”看“有关”

例2、假设Rt△ABC的各边都扩大4倍得到Rt△A′B′C′,那么锐角A和锐角A′正切值的关系为()

A.tanA′=4tanAB.4tanA′=tanAC.tanA′=tanAD.不确定.

错解:选A或选D.

分析锐角三角函数值等于相应边的比.因此，与边长度无关，与边的比值有关或说与角大小有关.其正确答案是选C.

AB

A

B

C

D

3.无视锐角三角函数边比的前提——滥用“特殊”代“一般”

例3、在等腰三角形ABC中,AB=AC=5,BC=6.求sinB、cosB、tanB。

错解:∵a=6,b=5,c=5

∴sinB=cosB=tanB=

分析：错解无视了用边比表示锐角的正弦,余弦和正切的前提是在直角三角形中,显然△ABC不是直角三角形故上述解法错误.正确解法应把∠B放到直角三角形中,其中正确解法为:

如图,过A作AD⊥BC于D,那么BD=3,∵AB=5,∴AD==4,

∴sinB=,cosB=,tanB=.

注意:三角形、四边形的边求锐角α三角函数，首先把α放入直角三角形中.

4、无视锐角三角函数值的范围——错将“鱼目”混“珍珠”

例4、α为锐角4tan2α-3=0,求tanα.

错解:∵4tan2α-3=0,∴tan2α=,两边同进开方得:

tanα=,∴tanα=,tanα=.

分析:锐角三角函数等于相应直角三角形边的比,显然tanα＞0,sinα＞0,cosα＞0.所以上述tanα=应该舍去,其正确答案是tanα=.

别再犯这些错误

山东李浩明

在解决三角函数问题时,有的同学因为根底知识不牢、考虑问题不全面等因素,容易这样或那样的习惯性错误.下面就锐角三角函数问题求解时,同学们常犯错误给予例析，希望能引起同学们的注意.

受习惯影响误以的对边为斜边

例1在△ABC中，∠B=90°，BC=3，AB=5，求的值.

错解：在中，

,.

错因分析:题中已指出∠B=90°，所以AC为斜边，而上述解法受习惯的影响，误以为∠C的对边AB是斜边，因此，解题时应认真审题，注意所给条件，分清斜边和直角边，以防出错.

正解：在中，∠B=90°，.

,

二、概念理解不透导致错误

例2．在中，如果各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦值〔?????〕.

〔A〕扩大3倍???〔B〕不变〔C〕缩小3倍???〔D〕改变

错解：选〔A〕.

错因分析：该题选〔A〕是对锐角三角函数的定义不理解所致，根据锐角三角函数的定义可知应选〔B〕.可画出草图，结合图形分析.

正解：选〔B〕.

三、混淆特殊角的三角函数值以及三角函数的变化规律

例3.锐角满足，那么的取值范围是()

〔A〕〔B〕

〔C〕〔D〕

错解:选〔A〕.

错因分析：没有准确掌握特殊角的三角函数,将特殊角的三角函数值“张冠李戴”.同也混淆了锐角的正弦值、余弦值的变化规律.

正解:,,又

，.应选〔C〕．

四、求三角函数时无视以直角三角形为前提

例4.中，.求.

错解：.

错因分析：此题考查锐角的三种三角函数值的求法，解题的关键是先判断是直角三角形，此题恰好无视了这一点，因而导致出错.

正解：,,

,且.

五、边角关系没有审清致错

例5.在中，，AC=1cm，BC=2cm，求．

错解在中，∵，AC=1，BC=2，∴．

∴．∴．∴．

错因分析：错误地应用了“假设直角三角形中的一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边对角为”，没有分清斜边和直角边，防止该错误的有效方法是画出图形，利用“数形结合”法进行解答．

正解：在中，∵，

∴．

∴，