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(完整word)针2018春中考数学《圆的综合题：角平分线》对演练

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(完整word)针2018春中考数学《圆的综合题：角平分线》对演练

第二部分攻克题型得高分

圆的综合题（角平分线模型)

1。如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC边于点D，过点C作CF∥AB，与过点B的切线交于点F，连接BD.

（1)求证：BD＝BF；

（2)若AB＝10,CD＝4,求BC的长．

2.已知AB是⊙O的直径,C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①.

（1）求证:DE是⊙O的切线；

(2）若AB＝10，AC＝6,求BD的长;

(3)如图②，若F是OA中点,FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝eq\f(19，4），tan∠BAD＝eq\f(3,4)，求⊙O的半径．

答案

1.(1）证明：∵BF是⊙O的切线,

∴∠ABF＝90°.

∵CF∥AB,

∴∠F＝90°，∠ABC＝∠FCB,

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BDC＝90°，

∴∠F＝∠BDC。

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠FCB.

在△BCD和△BCF中，

eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BDC＝∠F，∠DCB＝∠FCB,BC＝BC）），

∴△BCD≌△BCF(AAS），

∴BD＝BF；

（2）解：∵AB＝AC，AB＝10，

∴AC＝10.

∵CD＝4，∴AD＝6.

在Rt△ADB中，由勾股定理得

BD＝eq\r（102－62）＝8，

在Rt△BCD中,由勾股定理得

BC＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5）.

即BC的长为4eq\r（5).

2。（1）证明：如解图①，连接OD,

∵OA＝OD，

∴∠OAD＝∠ODA，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠OAD＝∠DAE，

第2题解图①

∴∠ODA＝∠DAE，

∴OD∥AE，

∴∠ODE＋∠AED＝180°,

又∵∠AED＝90°，

∴∠ODE＝90°，

∴OD⊥DE。

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线；

(2）解：如解图①，连接BC，交OD于点N，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠BCA＝90°，

∵OD∥AE,O是AB的中点,

∴ON∥AC,且ON＝eq\f（1,2)AC，

故∠ONB＝90°，且ON＝3,

则BN＝4,ND＝2，

∴BD＝eq\r（42＋22)＝2eq\r（5);

(3）如解图②，设FG与AD交于点H，根据题意，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝eq\f(3,4),可设BD＝3x，AD＝4x，则AB＝5x，AF＝eq\f（5，4)x，

∴FH＝AF·tan∠BAD＝eq\f(5，4)x·eq\f（3,4)＝eq\f(15,16)x，

AH＝eq\f（AF，cos∠BAD)＝eq\f(\f（5，4）x，\f（4，5）)＝eq\f（25,16）x，

HD＝AD－AH＝4x－eq\f(25，16）x＝eq\f(39,16)x，

由(1）可知，∠HDG＋∠ODA＝90°,在Rt△HFA中，∠FAH＋∠FHA＝90°，

第2题解图②

又∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，

∴∠DHG＝∠HDG，

∴GH＝GD,过点G作GM⊥HD,交HD于点M，

∴MH＝MD，

∴HM＝eq\f（1，2）HD＝eq\f（1，2)·eq\f（39,16)x＝eq\f（39,32)x，

∵∠FAH＋∠AHF＝90°，∠MHG＋∠HGM＝90°，

且∠FHA＝∠MHG，

∴∠FAH＝∠HGM，

在Rt△HGM中，HG＝eq\f（HM,sin∠HGM)＝eq\f(\f（39，32)x,\f(3，5）)＝eq\f（65,32)x，

∵FH＋GH＝FG＝eq\f(19,4)，

故有：eq\f(15，16）x＋eq\f（65,32）x＝eq\f（19,4)，解得：x＝eq\f(8，5）。

故⊙O的半径为：eq\f（5，2）×eq\f（8,5）＝4。