2024年高一数学期末专题1.3 三角函数5.4-5.7大题综合（精选30题）备战期末真题必刷（解析版）.docx

期末专题1.3三角函数5.4-5.7大题综合

1．（23-24高一下·广东广州·期末）已知函数，.

(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；

(2)求函数在上的最小值及相应自变量的值.

【答案】(1)函数的最小正周期，单调递减区间为，.

(2)最小值为，相应的.

【分析】（1）化简，根据余弦函数的最小正周期公式和单调递减区间可得结果；

（2）根据余弦函数的图象可求出结果.

【详解】（1），

函数的最小正周期.

由，，

得，，

所以的单调递减区间为，.

（2）当时，，

所以当，即时，取得最小值.

2．（23-24高一下·福建福州·期末）已知．

(1)化简并求函数图象的对称轴方程；

(2)当时．求函数的最大值、最小值及对应的值．

【答案】(1)；

(2)时，函数取最大值；时，函数取最小值

【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式即可化简，利用三角函数的性质即可求解对称轴方程；

（2）根据角的范围，利用三角函数的性质即可求得答案.

【详解】（1）,

令，得，

所以函数图象的对称轴方程为：.

（2）由（1）得，

因为，故，

所以，当，即时，函数取最大值；

当，即时，函数取最小值.

3．（23-24高一下·贵州遵义·期末）已知函数．

(1)求函数的单调增区间；

(2)若，，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先利用降幂公式及辅助角公式化一，再根据正弦函数的单调性即可得解；

（2）根据题意可得，求得的范围，再根据平方关系和商数关系求出，再根据结合两角和的正切公式即可得解.

【详解】（1）

，

令，得，

所以函数的单调增区间为；

（2）由，得，

所以，

由，得，

因为，所以，

所以，，

所以.

4．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知，为锐角，，．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二倍角的余弦公式结合商数关系及化弦为切即可得解；

（2）先利用二倍角的正切公式求出，再根据平方关系及商数关系求出，再根据利用两角差的正切公式即可得解．

【详解】（1）；

（2）由，得，

因为，为锐角，所以，则，

又因，

所以，

所以，

则，

所以．

5．（23-24高一下·江西九江·期末）已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据余弦的和差角公式即可化简，由周期公式即可求解，

（2）根据正切和差角公式得，即可由余弦的二倍角公式以及齐次式求解.

【详解】（1），

所以周期为

（2）由于，所以，

故

6．（23-24高一下·安徽亳州·期末）已知函数．

(1)若0，求的取值集合

(2)若函数的图像向右平移个单位，再把得到图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长倍得到函数的图像，求函数的单调递增区间．

【答案】(1)或

(2)，

【分析】（1）首先利用三角恒等变换化简函数，再根据三角函数值，确定方程的解集；

（2）利用三角函数图象的变换规律，求函数的解析式，再根据三角函数的性质，确定函数的单调递增区间.

【详解】（1）

，

由，得，

则，或，，

得或，，

所以取值集合为或，，

（2）由题意可知，函数的图像向右平移个单位，

得到．把得到图像上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到倍，得到函数，

令，，

解得，

所以的单调递增区间为

7．（23-24高一下·辽宁·期末）已知函数（，）在上单调递增，且直线和为图象的两条对称轴．

(1)求的解析式；

(2)若函数，求的单调递增区间．

【答案】(1)

(2)（）

【分析】（1）由题意可得可求出的值，再由时函数取得最大值可求出的值，从而可求出的解析式；

（2）由三角函数恒等变换公式可得，由（），可求出函数的递增区间.

【详解】（1）设的最小正周期为，

则，得．

由题意得（），

得（），

因为，所以．

故．

（2）由题意得

，

由（），得（），

所以的单调递增区间为（）．

8．（23-24高一下·福建福州·期末）已知函数

(1)求的单调递减区间；

(2)若，函数的解恰有3个，求实数a的取值范围．

【答案】(1),

(2)

【分析】（1）化简，再根据正弦函数的单调减区间代入求解即可．

（2）根据（1）的结果，再根据求出的范围，结合的值域为，即可求出结果．

【详解】（1）

由，

得，.

故此函数的单调递增区间为（）.

（2）由（1）知：，

令，即

根据题意得：，，恰好有3解，

??

根据正弦函数图像解得：

即有：

故实数a的取值范围为.

9．（23-24高一下·四川成都·期末）已知，且．

(1)求的值；

(2)若，求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知条件求出和，可得；

（2）根据求出，再根据角的范围可得结果.

【详解】（1）因为，所以，化简得，

因为，所以，

所以，

所以，，

所以.

（2）由（1）知，，所以

所