全微分方向导数和梯度.pptVIP

1.定义11.7设二元函数为函数z=f(x,y)在点P处的梯度记作(gradient),在点具有偏导数，称向量例10函数在点处的梯度解:则注意x,y,z具有轮换对称性2.梯度与方向导数的关系1o沿梯度相反方向，方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值2o梯度的概念可以推广到三元函数类似于二元函数，此梯度也有上述性质.3.梯度的基本运算公式4.梯度的几何意义称为函数(1)等高线z=f(x,y)的等高(值)线.xyzoL*xyoxyzoz=c2z=c1f(x,y)=c1f(x,y)=c2等高线梯度为等高线上的一个法向量，其指向为：从数值较底的等高线到数值较高的等高线.(2)等高线上的法向量与梯度的关系(P245例2)多元函数的全微分方向导数与梯度三、方向导数和梯度一、全微分的概念在点(x,y)的全增量问题的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量01（当一元函数y=f(x)可导时）二元函数z=f(x,y)：函数的微分02一元函数y=f(x)：1.问题的提出若z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量可表示成其中A,B不依赖于?x,?y,仅与x,y有关，称为函数在点(x,y)的全微分,记作则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，2.全微分的定义定义11.512°由定义可知,f(x,y)在点(x,y)可微的2充要条件是:3注4在D内可微.1°若函数在域D内各点都可微,则称此函数二、可微的条件定理11.1(多元函数可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则(2)函数z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有(1)函数z=f(x,y)在点(x,y)连续;从而1.可微与连续、可导的关系1°习惯上把自变量的增量用微分表示,因此有注全微分的定义可推广到三元及三元以上函数2°可微与连续、可导的关系(二元以上的函数)可微连续可导例1讨论(1)连续性；(2)可导性；(3)可微性.解(1)例2讨论函数连续性；(2)可导性；(3)可微性.解=0=f(0,0)2.可微与偏导数连续的关系若函数偏导数连续可微的偏导数定理11.2(多元函数可微的充分条件)则函数f(x,y)在该点可微.例3解例4计算函数在点(2,1)处的全微分.解:例5.计算函数的全微分.解:求函数时的全增量和全微分.解例6从而当x=2,y=1,△x=0.01,△y=-0.03时可知当1利用近似公式作计算2由全微分定义3较小时,4及5有近似等式:(用于误差分析)(用于近似计算)6全微分在近似计算中的应用三、方向导数１.方向导数的定义设l是xoy平面上以是与l同方向的为始点的定义11.6单位向量.函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域一条射线，内有定义，为l上另一点，且射线l的参数方程为??存在，则称此极限为函数f(x,y)在点P0沿方向l方向导数，记作即2o方向导数的几何意义过点P0沿l作垂直于xoy面的平面，面与曲面z=f(x,y)的交线在曲面上相应点M处的切线(若存在)关于l方向的斜率:该平l?Tlz=f(x,y)2.方向导数的计算定理11.3且有则函数在该点沿任一方向的方向导数存在,?解例7方向导数概念可推广到三元函数：例8.函数指向B(3,－2,2)方向的方向导数是.在点A(1,0,1)处沿点A解x轴方向夹角为?的射线l方向的方向导数.并问:在怎样的方向上此方向导数(1)取得最大值;(2)取得最小值;(3)等于零？解由方向导数的计算公式知例9求函数在点