高中数学同步练习 导数的概念及运算.DOCVIP

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第十一讲导数的概念及运算

A组基础巩固

一、选择题

1．(文)函数y＝lneq\f(1,x)的导函数为(A)

A．y′＝－eq\f(1,x) B．y′＝eq\f(1,x)

C．y′＝lnx D．y′＝－ln(－x)

(理)(2018·江西上高二中月考)函数f(x)＝eq\f(e2x,x)的导函数为(B)

A．f′(x)＝2e2x B．f′(x)＝eq\f(?2x－1?e2x,x2)

C．f′(x)＝eq\f(2e2x,x) D．f′(x)＝eq\f(?x－1?e2x,x2)

[解析](文)y＝lneq\f(1,x)＝－lnx,∴y′＝－eq\f(1,x).故选A．

(理)f′(x)＝eq\f(?e2x?′x－e2x·x′,x2)＝eq\f(2e2x·x－e2x,x2)＝eq\f(?2x－1?e2x,x2).故选B．

[易错提醒]复合函数求导的步骤不全而致错．复合函数求导的关键在于分清复合关系,适当选取中间变量,然后由外及内逐层求导,如本题不要忘记(2x)′．

2．已知函数f(x)＝eq\f(1,x)cosx,则f(π)＋f′(eq\f(π,2))＝(C)

A．－eq\f(3,π2) B．－eq\f(1,π2)

C．－eq\f(3,π) D．－eq\f(1,π)

[解析]f(π)＝eq\f(－1,π),f′(x)＝eq\f(－xsinx－cosx,x2),f′(eq\f(π,2))＝－eq\f(2,π),∴f(π)＋f＝(eq\f(π,2))＝－eq\f(3,π).故选C．

3．(2018·江西师大附中月考)已知函数f(x)＝x(2017＋lnx),f′(x0)＝2018,则x0＝(B)

A．e2 B．1

C．ln2 D．e

[解析]由题意可知f′(x)＝2017＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2018＋lnx,由f′(x0)＝2018,得lnx0＝0,解得x0＝1．

4．(2018·河北衡水调研)曲线y＝1－eq\f(2,x＋2)在点(－1,－1)处的切线方程为(A)

A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1

C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2

[解析]∵y＝1－eq\f(2,x＋2)＝eq\f(x,x＋2),∴y′＝eq\f(x＋2－x,?x＋2?2)＝eq\f(2,?x＋2?2),y′|x＝－1＝2,∴曲线在点(－1,－1)处的切线的斜率为2,∴所求切线方程为y＋1＝2(x＋1),即y＝2x＋1．

5．(文)(2018·安徽百校论坛联考)已知曲线f(x)＝eq\f(ax2,x＋1)在点(1,f(1))处切线的斜率为1,则实数a的值为(D)

A．eq\f(3,2) B．－eq\f(3,2)

C．－eq\f(3,4) D．eq\f(4,3)

(理)(2018·安徽安庆模拟)设曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0,则a＝(D)

A．0 B．1

C．2 D．3

[解析](文)由f′(x)＝eq\f(2ax?x＋1?－ax2,?x＋1?2)＝eq\f(ax2＋2ax,?x＋1?2),得f′(1)＝eq\f(3a,4)＝1,解得a＝eq\f(4,3).故选D．

(理)∵y＝eax－ln(x＋1),∴y′＝aeax－eq\f(1,x＋1),∴当x＝0时,y′＝a－1,∵曲线y＝eax－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0,∴a－1＝2,即a＝3.故选D．

6．(2018·课标全国Ⅰ,6)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax.若f(x)为奇函数,则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(D)

A．y＝－2x B．y＝－x

C．y＝2x D．y＝x

[解析]本题主要考查函数的奇偶性及导数的几何意义．∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数,∴a－1＝0,得a＝1,∴f(x)＝x3＋x,∴f′(x)＝3x2＋1,∴f′(0)＝1,则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x,故选D．

[解后反思]求曲线的切线方程需注意的几个问题：

(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标．

(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组)．

(3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件．

7．(2018·江西师大附中、九江一中联考)设曲线y＝eq\f(1＋cosx,sinx)在点(eq\f(π,2),1)处的切线与直线x－ay＋1＝0平行,