2024高考数学常考题型精华版第8讲 抽象函数7种导函数构造（解析版）.docx

第8讲抽象函数7种导函数构造

【题型目录】

题型一：具体函数抽象化解不等式

题型二：构造幂函数型解不等式

题型三：构造指数函数型解不等式

题型四：构造对数函数型解不等式

题型五：构造三角函数型解不等式

题型六：构造型函数解不等式

题型七：复杂型：二次构造

【典例例题】

题型一：具体函数抽象化解不等式

【例1】（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知，若成立，则实数的取值范围是（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由奇偶性的定义得出函数为偶函数，利用导数知函数在区间上为增函数，由偶函数的性质将不等式变形为，利用单调性得出，从而可解出实数的取值范围.

【详解】

解：函数的定义域为，关于原点对称，

，函数为偶函数，

当时，，，

则函数在上为增函数，

由得，

由偶函数的性质得，

由于函数在上为增函数，则，即，

整理得，解得，因此，实数的取值范围是.

故选：B.

【题型专练】

1．（2022·贵州遵义·高二期末（理））已知函数，设，，，则a，b，c的大小为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

利用函数解析式求导数，判断导数大于零恒成立，故确定函数单调性，比较自变量大小确定函数值a，b，c的大小即可.

【详解】

解：因为，则，所以

又时，，所以恒成立

所以在上单调递增；

又，，

所以，则.

故选：A.

2．（2022·上海·复旦附中高二期末）设，若，则x的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

奇偶性定义判断奇偶性，利用导数研究的单调性，再应用奇偶、单调性求x的范围.

【详解】

由且，易知：为奇函数，

所以，

又，故在上递增，

所以，可得.

故答案为：

题型二：构造幂函数型解不等式

【例1】（2022·黑龙江·哈师大附中高二期末）已知定义在（0，+∞）上的函数满足，其中是函数的导函数，若，则实数m的取值范围为（???????）

A．（0，2022） B．（2022，+∞） C．（2023，+∞） D．（2022，2023）

【答案】D

【解析】

【分析】

构造函数，使得，然后根据函数的单调性解不等式即可.

【详解】

由题设，所以在上单调递减，又，即，又函数的定义域为，所以，综上可得：.

故选：D.

【例2】（2022·四川雅安·高二期末（理））设奇函数的导函数是，且，当时，，则不等式的解集为______．

【答案】

【解析】

【分析】

设，利用导数求得在为单调递减函数，进而得到函数为奇函数，且在为单调递减函数，结合函数的单调性，即可求解.

【详解】

设，可得，

因为当时，，可得，

所以在为单调递减函数，

又因为函数为奇函数，且，可得，

则满足，所以函数也为奇函数，

所以在为单调递减函数，且，

当时，由，即，即，可得；

当时，由，即，即，可得；

所以不等式的解集为.

故答案为：.

【例3】（2022·河南信阳·高二期中（理））已知定义域为的函数满足（为函数的导函数），则不等式的解集为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数，由题意可知在上单调递增，再对分情况讨论，利用函数的单调性即可求出不等式的解集.

【详解】

由，

（1）当时，可得，

即，

即，

构造函数，

所以函数单调递增，

则，此时，即满足；

（2）当时，可得，

由函数递增，则，此时或，即满足；

（3）当时，，即满足.

综上，.

故选：A.

【例4】已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有．则不等式的解集为（???????）．

A． B．

C．或 D．或

【答案】D

【解析】

先通过得到原函数为增函数且为偶函数，再利用到轴距离求解不等式即可.

【详解】

构造函数，

则

由题可知，所以在时为增函数；

由为奇函数，为奇函数，所以为偶函数；

又，即

即

又为开口向上的偶函数

所以，解得或

故选：D

【点睛】

此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目.

【例5】函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

设函数，根据导数的运算和题设条件，求得函数在上为增函数，把不等式转化为，即，利用单调性，即可求解.

【详解】

由题意，设函数，

则，

因为是定义在区间上的可导函数，且满足，

所以，所以函数在上为增函数，

又由，即，

即，所以，解得，

即不等式的解集为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了函数的导数与函数的单调性的关系及应用，其中解答中根据题设条件，构造新函数是解答的关键，着重考查了构造思想，以及推理与计算能力.

【题型专练】

1．（2021·新疆维吾尔自治区喀什第二中学高三阶段练习（理））定义在上的偶函数的导函数为，且当时，.则（?????