总结拉格朗日中值定理的应用.pdfVIP

去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

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总结拉格朗日中值定

理的应用

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去留无意，闲看庭前花开花落；宠辱不惊，漫随天外云卷云舒。——《幽窗小记》

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总结拉格朗日中值定理的应用

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个

微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理。他建立了函数值与导数值之间的

定量联系，因而可用中值定理通过导数研究函数的性态。中值定理的主要作用在

于理论分析和证明，例如为利用导数判断函数单调性、取极值、凹凸性、拐点等

项重要函数性态提供重要理论依据，从而把握函数图像的各种几何特征。总之，

微分学中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断

函数的整体性质的工具。而拉格朗日中值定理作为微分中值定理中一个承上启下

的一个定理，我们需要对其能够熟练的应用，这对高等数学的学习有着极大的意

义！

拉格朗日中值定理的应用主要有以下几个方面：利用拉格朗日中值定理证明

（不）等式、利用拉格朗日中值定理求极限、研究函数在区间上的性质、估值问

题、证明级数收敛。首先我想介绍几种关于如何构造辅助函数的方法。

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凑导数法。：这种方法主要是把要证明的结论变形为罗尔定理的结论形式，

凑出适当的函数做为辅助函数，即将要证的结论中的换成X，变形后观察法

凑成F’(X)，由此求出辅助函数F(x)．如例1.

常数值法：在构造函数时；若表达式关于端点处的函数值具有对称性，通常

用常数k值法来求构造辅助函数，这种方法一般选取所证等式中含的部分作为

k，即使常数部分分离出来并令其为k，恒等变形使等式一端为a与f(a)构成的代

数式，另一端为b与．f(b)构成的代数式，将所证式中的端点值(a或b)改为变量

x移项即为辅助函数f(x),再用中值定理或待定系数法等方法确定k，一般来说，

当问题涉及高阶导数时，往往考虑多次运用中值定理，更多时要考虑用泰勒公

式．如例3.

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倒推法：：这种方法证明方法是欲证的结论出发，借助于逻辑关系导出已知