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2024-2025学年山东省青岛市高二上学期期中考试数学
检测试卷
一、单选题(本大题共8小题)
1.设直线:的倾斜角为,则的值为(????)
A.2 B. C. D.
2.已知直线平分圆的周长,则(????)
A.2 B.1 C. D.4
3.已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,若,则(????)
A.1 B.2 C.3 D.4
4.在四面体中,,若,则(????)
A. B. C. D.
5.已知椭圆:()的离心率为,且点为椭圆的一个焦点,则椭圆与直线在第一象限的交点为(????)
A. B. C. D.
6.圆:与圆:的公切线的条数为()
A.1 B.2 C.3 D.4
7.若双曲线的右焦点到其渐近线的距离为,则双曲线的离心率为()
A. B. C. D.
8.如图,在棱长为2的正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则直线与直线所成角的余弦值的最大值为()
??
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共3小题)
9.已知圆:,直线:(),则()
A.直线恒过定点
B.直线与圆有两个交点
C.当时,圆上恰有四个点到直线的距离等于1
D.圆上的点到直线的最大距离是
10.如图,在棱长为2的正方体中,E为的中点,若一点P在底面内(包括边界)移动,且满足,则(????)
A.与平面的夹角的正弦值为 B.点到的距离为
C.线段的长度的最大值为 D.与的数量积的范围是
11.已知椭圆:()与双曲线:有相同的焦点,,且它们的离心率之积为,点是与的一个公共点,则()
A.椭圆的方程为 B.
C.为等腰三角形 D.对于上的任意一点,
三、填空题(本大题共3小题)
12.在空间直角坐标系中,点,点,点,则在方向上的投影向量的坐标为.
13.如图,赵州桥是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥,因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代,是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的抛物线形拱桥.这座桥的拱顶离水面时,水面宽,当水面的宽度为时,水面下降了.
14.已知点是圆:上的动点,点,则线段的中点的轨迹方程是;若直线:,为直线上的动点,过点作点的轨迹的切线,切点为,,设,当四边形的面积最小时,面积为.
四、解答题(本大题共5小题)
15.已知的顶点,顶点在轴上,边上的高所在的直线方程为边上的中线所在的直线方程为.
(1)求直线的方程;
(2)求的值.
16.如图,在六棱柱中,底面是正六边形,设,,.
??
(1)用,,分别表示,.
(2)若,,,求:
(ⅰ);
(ⅱ).
17.已知抛物线:的焦点为.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程;
(2)过焦点的直线与抛物线交于,两点,若,求线段的长.
18.已知直线:,圆:.
(1)当为何值时,直线被圆截得的弦最长?当为何值时,直线被圆截得的弦最短?
(2)是否存在,使得直线被圆截得的弦长为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
19.已知椭圆:()的焦距为,,分别为椭圆的左、右焦点,过的直线与椭圆交于两点,的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)对于,是否存在实数,使得直线分别交椭圆于点,且?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
答案
1.【正确答案】C
【详解】直线:可化为,
所以直线的斜率为,即,
故选:C.
2.【正确答案】B
【详解】因为直线平分圆的周长,
所以直线过圆心,
所以,解得,
故选:B.
3.【正确答案】B
【详解】由即可得,解得;
故选:B
4.【正确答案】A
【详解】如图,
??
因为,所以,又,
所以,
又,
所以且,解得:.
故选:A
5.【正确答案】D
【详解】由题可得,,解得,
所以椭圆方程为,
联立,可得,解得,
所以椭圆与直线在第一象限的交点为,
故选:D.
6.【正确答案】C
【详解】由,可得,
所以圆心,
设两圆的半径分别为,则,
圆心距,
所以两圆外切,则公切线的条数为3条,
故选:C.
7.【正确答案】B
【详解】根据对称性,双曲线的焦点到两条渐近线的距离相等,
其中一条渐近线的方程为,即,
右焦点Fc,0到的距离等于,
所以,所以,
即,则,所以,
故选:B.
8.【正确答案】D
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系,
则,0,,,2,,,0,,,0,,,0,,,2,,
设,,
则,,,
则,,
则,
设直线与直线所成角为,
则,当且仅当时取等号,
则直线与直线所成角的余弦值的最大值为,
故选:D.
??
9.【正确答案】ABD
【详解】??
对A,由,可得,
令,解得,所以直线恒过定点,A正确;
对B,设直线直线恒过定点为,
圆心,半径,
则,
所以点在圆内,则直线与圆相
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