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八四年高考数学试卷

一、选择题

1.下列各数中，有理数是：（）

A.$\sqrt{2}$

B.$\pi$

C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.$-\frac{5}{7}$

2.已知函数$f(x)=2x+3$，若$f(a)=7$，则$a=$（）

A.2

B.3

C.4

D.5

3.若$|x-1|=3$，则$x=$（）

A.2

B.4

C.2或4

D.1或4

4.已知等差数列$\{a_n\}$，$a_1=3$，$d=2$，则$a_5=$（）

A.9

B.10

C.11

D.12

5.若$|x|3$，则$-3x3$表示的区间是：（）

A.$(-3,3)$

B.$(-3,0)$

C.$(0,3)$

D.$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$

6.已知函数$f(x)=x^2-4x+4$，则$f(-2)=$（）

A.0

B.4

C.12

D.20

7.若等比数列$\{a_n\}$，$a_1=1$，公比为$q$，则$a_5=$（）

A.$q^4$

B.$q^5$

C.$q^6$

D.$q^7$

8.已知函数$f(x)=\frac{x}{x-1}$，若$f(2)=\frac{2}{3}$，则$x=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

9.若$\cos^2x+\sin^2x=1$，则$\sinx$的取值范围是：（）

A.$[-1,1]$

B.$[-1,0)$

C.$(0,1]$

D.$(-1,0)\cup(0,1)$

10.已知等差数列$\{a_n\}$，$a_1=2$，$a_5=20$，则$a_3=$（）

A.8

B.10

C.12

D.14

二、判断题

1.对于任何实数$x$，都有$x^2\geq0$。（）

2.如果两个角的正弦值相等，那么这两个角要么相等，要么互补。（）

3.在直角坐标系中，所有第二象限的点都满足$x0$和$y0$。（）

4.在等差数列中，任意三项$a_n$，$a_{n+1}$，$a_{n+2}$都满足$a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}-a_n$。（）

5.函数$y=\sqrt{x^2}$的值域是$[0,+\infty)$。（）

三、填空题

1.已知函数$f(x)=3x-5$，若$f(x)=2$，则$x=$______。

2.在直角三角形ABC中，$\angleA=90^\circ$，$\angleB=30^\circ$，若AB=6，则AC的长度为______。

3.等差数列$\{a_n\}$中，$a_1=5$，公差$d=3$，则$a_7=$______。

4.解方程$2x^2-4x+2=0$，得到$x=$______。

5.在复数$a+bi$中，若实部$a=0$，则该复数在复平面上的表示是一个______。

四、简答题

1.简述一元二次方程的解法，并举例说明。

2.如何判断一个二次函数的图像是开口向上还是开口向下？

3.请解释什么是等差数列和等比数列，并给出一个例子。

4.简述如何利用三角函数的性质来解决实际问题。

5.在解直角三角形时，如何应用正弦定理和余弦定理？请举例说明。

五、计算题

1.已知函数$f(x)=x^2-6x+8$，求函数$f(x)$的零点。

2.在直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-1,4)之间的距离是多少？

3.一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求该数列的公差和第10项的值。

4.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

x-y=1

\end{cases}

\]

5.一个等比数列的前两项分别是3和12，求该数列的公比和第5项的值。

六、案例分析题

1.案例背景：某公司计划在一年内将产品销量从500件增加到1500件。已知该公司产品销售量构成一个等差数列，第一年销售量为500件，求每年销售量的增长率和最终能否实现目标。

案例要求：

（1）根据等差数列的定义，求出该数列的公差。

（2）根据公差和第一年的销售量，预测未来几年的销售量。

（3）分析该公司能否实现销售量从500件增加到1500件的目标。

2.案例背景：某城市为了提高居民的生活水平，决定实施一项公共设施建设项目。该项目建设周期为三年，每年的投资额构成一个等比数列，第一年投资额为100万元，公比为1.2。求该项目建设期间的总投资额。假设第三年的投资额为最终的投资额。

案例要求：

（1）根据等比数列的定义，求出该数列的公比。

（2）计算第一年和第二年每年的投资额。

（3）求出三年内的总投资额，并分析该投资额是否合理。

七、应用题

1.应用题：