高中数学 同步学案 等比数列.doc

PAGE

9．3等比数列

第一课时等比数列的概念

[读教材·填要点]

1．等比数列

一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,这样的数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示．(q≠0)．

也就是说,当n≥2时,如果eq\f(an,an－1)＝q,那么数列{an}称为等比数列,q称为数列{an}的公比．

2．等比中项

如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项．

由等比中项的定义可知：eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab).

[小问题·大思维]

1．下列给出的两个数列是否为等比数列．

(1)1,1,1,1,…；

(2)0,1,2,4,8.

[提示](1)为等比数列,为常数列,(2)不是等比数列,在等比数列中an≠0.

2．若G2＝ab,则a,G,b一定成等比数列吗？

[提示]不一定,例如0,0,2,满足G2＝a·b但不是等比数列．

等比数列定义的应用

观察下面几个数列,其中是等比数列的有哪些？

(1)数列1,1,2,4,8,16,32,61；

(2)数列{an}中,已知eq\f(a2,a1)＝2,eq\f(a3,a2)＝2；

(3)常数列a,a,…,a,…；

(4)在数列{an}中,eq\f(an＋1,an)＝1,其中n∈N＋.

[解](1)不符合等比数列的定义,故不是等比数列．

(2)不一定是等比数列,当数列{an}只有3项时,数列{an}是等比数列；当数列{an}的项数超过3项时,不一定符合等比数列的定义．

(3)不一定是等比数列,当常数列各项都为0时,它不是等比数列；当常数列各项不为0时,是等比数列．

(4)是等比数列．等比数列的定义用数学式子表示出来就是对任意n∈N＋,有eq\f(an＋1,an)＝q,那么数列{an}就是等比数列．

解决此类问题要准确理解等比数列的定义,注意“每一项与前一项的比”的含义：一是强调顺序,二是强调相邻；此外等比数列中不含“0”项,公比q也不能为0,eq\f(an＋1,an)(n∈N＋)均为同一个常数,这样的数列才是等比数列．

1．判断下列数列是否为等比数列

(1)2,2,2,2,

(2)0,3,32,33,…

(3)1,eq\f(1,2),eq\f(1,4),eq\f(1,8),eq\f(1,16),

解：(1)所给数列是以首项为2,公比为1的等比数列；

(2)因为0不能作除数,所以所给数列不是等比数列；

(3)所给数列是以首项为1,公比为eq\f(1,2)的等比数列．

等比数列的判定

已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an,求证：数列{an}是等比数列．

[解]∵Sn＝2－an,

∴Sn＋1＝2－an＋1.

∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.

∴an＋1＝eq\f(1,2)an.

又∵S1＝2－a1,∴a1＝1≠0.

又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0,

∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴{an}是等比数列．

证明一个数列是等比数列,常用方法是

(1)定义法：要证明一个数列{an}是等比数列,只要证明对于任意自然数n,eq\f(an＋1,an)都等于同一个常数即可．,(2)中项法：对于一个数列,除了首项和末项(有穷数列)外,任何一项都是它的前后两项的等比中项,则此数列即为等比数列．

2．已知等比数列{an}中,a1＝1,公比为q,且bn＝an＋1－an,判断数列{bn}是否为等比数列？说明理由．

解：∵等比数列{an}中,a1＝1,公比为q,

∴an＝a1qn－1＝qn－1(q≠0),

若q＝1,则an＝1,bn＝an＋1－an＝0,

∴{bn}是各项均为0的常数列,不是等比数列．

若q≠1,

由于eq\f(bn＋1,bn)＝eq\f(an＋2－an＋1,an＋1－an)＝eq\f(qn＋1－qn,qn－qn－1)＝eq\f(qn?q－1?,qn－1?q－1?)＝q,

∴{bn}是首项为b1＝a2－a1＝q－1,公比为q的等比数列．

等比中项的应用

三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数．

[解]设所求之数为a－d,a,a＋d,则由题设得

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－d＋a＋a＋d＝15，,?a＋3?2＝?a－d＋1??a＋d＋9?.))

解此方程组,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝－10.))

又三个数为正数,