第04讲 一元二次方程的特殊根问题（学生版）.pdf

一元二次方程的

特殊根问题

模块一一元二次方程的公共根

模块二一元二次方程的整数根

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模块一一元二次方程的公共根

1．一元二次方程公共根问题的一般解法：

（1）如果公共根可以根据其中一个方程求出，则先求出公共根，代入另外一个方程，得到某一

个参数的一个方程，解得参数．

（2）如果公共根不能直接求出，则先设出公共根，然后代入原方程，通过恒等变形求出参数的

值和所有方程的根．

模块二一元二次方程的整数根

1．判断整系数一元二次方程是否有整数根的思路：

判断整系数一元二次方程axbxc是否有整数根问题的过程中，整除的性质、求根公式、

判别式与根系关系起十分重要的作用．

2．解整系数一元二次方程整数根问题的常用方法

（1）直接求根法：当一元二次方程的根很容易通过分解因式求出时，我们可以直接利用整除的

性质讨论当根为整数时参数的取值（能因式分解优先考虑）．

（2）利用判别式法：在一元二次方程有整数根的前提下，利用判别式必须是完全平方式，

△

且△，利用这条性质可以确定整参数的值，但需要验证这些值是否使方程的根为整数．

（3）利用韦达定理：由韦达定理（根系关系）得到用待定字母表示的两根和、积式，从中消去

待定字母得出不定方程来求解，或利用“和与积必须是整数”，结合整除性分析求解．但后者必须进

行检验所求的参数值要满足判别式△．（一般用于实参数）

例题1

xx

已知关于x的方程xkx的一个解与方程的解相同．

x

（1）求k的值

（2）求方程xkx的另一个解．

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例题2

（1）求k的值，使得关于x的一元二次方程xkx，xx(k)有相同的根，并求两

个方程的根．

xxxx

（2）已知为方程xkx的根，为方程xkx的根，且，求k的值．

1

例题3

（南充市外地生招生考试）关于x的一元二次方程为(m)xmxm，m为何整数时，此

一元二次方程的两个根都为整数？

例题4

已知关于x的方程(k)(k)x(k)x的解都是整数，求整数k的值．

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例题5

当m为何整数时，方程xmxm有整数解．

例题6

（全国初中联赛）已知方程xxnn的根都是整数，求整数n的值．

例题7

（1）当m是什么整数时，关于x的方程x(m)xm的两根都是整数?

（2）已知关于x的方程x(a)xa的两根都是整数，求a的值．

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