《数理统计》韦来生答案.docx

答案仅供参考

1

习题1绪论

1、试举出一个有限总体的例子.并指出其概率分布.略

2、试举出一个无限总体的例子.并指出其概率分布.略

3、一个总体有N个元素，其指标分别为a?a?…an,指定自然数MN,nN,

并设m=nM/N为整数.在(a?,…,am)中不放回地随机抽出m个，在(aM+1,…,an)中不放回

地随机抽出n—m个.写出所得样本的分布.解：

设所得样本为(X?,…,Xn),则前m个个体(X?,…,Xm)在(a?,…,am)中不放回抽取

种等可能结果，后n-m个个体(Xm+1,…,Xn)在(aM+1,…,an)中抽取种等可能结果.故(X?,…,Xn)共有Am·AN=m种等可能结果.

故P(X?=T1,…,Xm=Tm,Xm+1=Cm+1,…,

4、一物体的重量a未知，有两架天平可用，其随机误差分别服从正态分布N(0,σ?2)和

N(0.σ2),o2和σ2都未知.先把物件在第一架天平上称两次得X?,X?,再在第二架天平上称两次得X?X?,然后视|X?-X?I≤|X?-X?|或否而在第一架天平或第二架天平上再称

n-4次得X?,…,Xn.写出(X?,…,Xn)的密度.解：

由题意可知X?,X?~N(a,o2),

又因为X?,…,Xn相互独立，故fx,…,x。(r?,…,xn)=

答案仅供参考

5、设总体X服从两点分布b(1,p)(即P(X=1)=p,P(x=0)=1-p),其中p是未知参数，

X=(X?,…,X?)为从此总体中抽取的简单样本.

(1)写出样本空间X和X的概率分布.

(2)指出X?+X?,minX,X?+2p,X?-E(X?),(X?-X?)2/D(X?)哪些是统计量，哪些不是，为什么?

(3)设样本观察值(X?,…,Xn)中有m个1,n-m个0,求此样本的经验分布函数.

解：

(1)、X={(X?,…,X?):X?=0或1,

(2)、X?+X?和是统计量，X?+2p,X?-E(X?),(X?-X?)2/D(X?)不是统计量，因为它们的值还和未知参数p有关.

6、设a≠0和b皆为常数，令y;=ax;+b,i=1,2,…,n.试证明y?,…,yn的样本均值y,

样本方差S2和r?,…,cn的样本均值x,样本方差S?之间存在下列关系：y=a7+b,S2=a2S2.

根据这个结果，利用适当的变换，求下列一组数据的样本均值和样本方差.

480,550,500,590,510,560,490,600,580.解：

答案仅供参考

3

则对此样本数据作下列变换y;=10x;+500,i=1,2,…,9

则r?,i=1,2,…,9依次为-2,5,0,9,1,6,-1,10,8,则正=4,S2=21

故y=10z+500=540,S2=100S2=2100,故样本均值为540,样本方差为2100.

7、设容量为10的样本观察值为

0.5,0.7,0.2,0.7,0.4,2.5,1.5,-0.2,-0.5,0.1.

试绘出经验分布函数的图形.解：

经验分布函数

图形如图所示：

8、设X?,…,Xn是取自总体分布函数为F(x)的样本，Fn(x)为其经验分布函数.证明对

任意给定的实数x,

解：

答案仅供参考

4

令随机变量Y?=I-,(X),i=1,…,n,则易见Y?,…,Yni.i.d.～b(1,F(x)),即Y?,…,Yn为独立

同分布的伯努利随机变量序列，P(Y?=0)=1-F(x),P(Y?=1)=F(x),且有

由Borel强大数定律可知Fn(x)一F(x),也即又因为分布函数右连续，故

9、在正态总体N(50,62)中抽取容量为36的简单样本，求样本均值X落在50.6和51.8

之间的概率.解：

X～N(50,1),P(50.6X51.8)=P(0.6X-501.8)=更(1.8)-Φ(0.6)=0.2384.

10、设X?,…,X10o是取自总体X～N(μ,1)的样本，试确定常数c,使得对任意的μ0,

p(|x|c)都不超过0.05.

解：

由题意可知则

,

=Φ(10(c-μ))-Φ(-10(c+μ))≤0.05.

又因为μ0,故更(10(c-μ))-Φ(-10(c+μ))Φ(10c)-Φ(-10c)=2Φ(10c)-1≤0.05,得c≤0.006.

11、设X?,…,X,是取自总体X～N(