2024年高三数学重难点专题31 立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总（原卷版）.docx

重难点专题31立体几何压轴小题（轨迹与最值）十四大题型汇总

TOC\o1-3\h\z\u题型1平行求轨迹 1

题型2垂直求轨迹 4

题型3翻折求轨迹 5

题型4角度恒定求轨迹 8

题型5定长求轨迹 10

题型6向量法求轨迹 12

题型7阿波罗尼斯圆相关 15

题型8解析几何相关 17

题型8线段最值 19

题型9折线求最值 21

题型10倍数求最值 23

题型11点线距离求最值 25

题型12点线面距离求最值 26

题型13周长求最值 28

题型14面积求最值 31

题型1平行求轨迹

【例题1】（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足AA1=4AP，E，F分别为棱BC，CD

A．5373 B．237 C．7

【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，点M满足CC1=3CM

A．3 B．10 C．13 D．3

【变式1-1】2.（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N分别为BD

A．点P可以是棱BB1的中点 B．线段MP

C．点P的轨迹是正方形 D．点P轨迹的长度为2+

【变式1-1】3.（多选）（2024秋·山东临沂·高三校联考开学考试）在三棱台A1B1C1-ABC中，AA1⊥平面ABC，AB=

A．点P的轨迹长度为1

B．P到平面B1

C．有且仅有两个点P，使得A

D．A1P与平面ABC

【变式1-1】4.（多选）（2023·重庆·统考模拟预测）在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E

A．直线BC1与直线AC

B．平面BC1

C．若EF=25，则动点

D．若AF//平面BC1E

【变式1-1】5.（多选）（2023春·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考专题练习）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E?F?G?M?N均为所在棱的中点，动点P在正方体表面运动，则下列结论正确的有（????）

??

A．当点P为BC中点时，平面PEF⊥平面GMN

B．异面直线EF?GN所成角的余弦值为1

C．点E?F?G?M?N在同一个球面上

D．若A1P=t

【变式1-1】6．（多选）（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，E为AB

A．若MB∥平面D1EF，则点M

B．平面D1EF与平面ABCD

C．平面D1EF截正方体ABCD

D．不存在一条直线l，使得l与正方体ABCD-

【变式1-1】7.（多选）（2023·河北·模拟预测）如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E,F分别是棱AD,

A．点P的轨迹为一条线段

B．三棱锥P-

C．DP的取值范围是5

D．直线D1P与BF

题型2垂直求轨迹

【例题2】（2023·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面α内，定点P?α,PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥

??

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点

C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点

【变式2-1】1.（2023·全国·高三对口高考）正四棱锥S-ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点

A．6+2 B．6-2 C．

【变式2-1】2.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA1=4

A．5+2 B．22+2 C

【变式2-1】3.（2023·宁夏银川·校联考二模）已知线段AB垂直于定圆所在的平面，B,C是圆上的两点，H是点B在AC上的射影，当C运动，点H运动的轨迹（

A．是圆 B．是椭圆 C．是抛物线 D．不是平面图形

【变式2-1】4.（多选）（2023秋·浙江·高三浙江省春晖中学校联考阶段练习）已知正方体ABCD-A1B1C1D1

A．若点P在棱AD上运动，则A1P

B．若点P是棱AD的中点，则平面PBC1

C．若点P满足PD1⊥

D．若点P在直线AC上运动，则P到棱BC1

题型3翻折求轨迹

【例题3】（多选）（2023·全国·高三专题练习）如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，E为BC的中点，将△BAE沿AE向上翻折到△PAE的位置，连接

??

A．四棱锥P-AECD体积的最大值为22 B．PD的中点

C．EP,CD与平面PAD所成的角相等 D．三棱锥P

【变式3-1】1.（多选）（2023秋·广东佛山·高三校联考阶段练习）如图甲，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，E为AB上一动点