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中国科技大学
一九九七年招收硕士学位研究生去学考试试题
试题名称：固体物理
一很多元素晶体具有面心立方结构，试
1绘出其晶胞形状，指出它所具有的对称元素
2说明它的倒易点阵类型及第一布里渊区形状
3面心立方的Cu单晶（晶格常熟a=3.61?）的x射线衍射图（x射线波长λ＝1.54?）中，为什么不出现（100），（422），（511）衍射线？
4它们的晶格振动色散曲线有什么特点？
二已知原子间相互作用势，其中α，β，m,n均为0的常数，试证明此系统可以处于稳定平衡态的条件是nm。
三已知由N个质量为m，间距为的相同原子组成的一维单原子链的色散关系为
1试给出它的格波态密度，并作图表示
2试绘出其色散曲线形状，并说明存在截止频率的意义
四半导体材料的价带基本上填满了电子（近满带），价带中电子能量表示式，其中能量零点取在价带顶。这时若处电子被激发到更高的能带（导带）而在该处产生一个空穴，试求此空穴的有效质量，波矢，准动量，共有化运动速度和能量。（已知，）
五金属锂是体心立方晶格，晶格常数为?，假设每一个锂原子贡献一个传导电子而构成金属自由电子气，试推导时，金属自由电子气费米能表示式，并计算出金属锂费米能。（已知）
六二维自由电子气的电子能量表达式是
当方向有磁场入射时，电子能量本征值将为一系列Landau能级。Landau能级是高简并度分立能级，试导出其简并度。
中国科学院1997年硕士研究生入学试题参考答案
一（每题5分，工20分）
1晶胞如图：
对称元素：3个立方轴，4个3次轴，6个2次轴，1个一次轴，一个中心反映。
2倒易点阵为体心立方点阵，第一布里渊区为截角八面体。
3面心立方结构的消光条件不允许出现奇偶混杂的面指数，所以（100），（110）衍射线不出现，又因为衍射条件要求，所以，?，?，不符合衍射条件，不出现衍射峰。
4只有3支声学振动，没有光学支。在[100]和[111]方向，两支横声学波是简并的。
二解：满足稳定态的条件
所以nm。
三解：1根据态密度定义可以给出
（这里L＝Na）
ωmω
ωmω
g（ω）
所以
将代入得：
得：，其中
2
截止频率是只有频率在
截止频率是只有频率在ω到ωm之间的格波才能在晶体中传播，其它频率的格波被强烈衰减，一维单原子晶格看作成低通滤波器。
四解：所以，空穴的有效质量为：
空穴波矢：
空穴准动量：
空穴速度为：
空穴能量：
五解：按自由电子气模型，能量E－E＋dE之间的电子数为
在时
当
当
故
令，得：
锂晶体电子浓度
所以
六解：，等能面是一个圆，其半径
园内状态数
单位面积时，二维自由电子气能态密度
在kz方向磁场作用下，自由电子气凝聚成Landau能级，，能级间距为，故能级简并度，代入，得：
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