2022北京师大附中高一（上）期末数学（教师版）.docx

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2022北京师大附中高一（上）期末

数学

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1．已知集合，，1，2，，则

A．， B．，0， C．，1， D．，0，1，

2．命题“，”的否定是

A．， B．，

C．， D．，

3．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为

A． B． C． D．

4．已知，，，则

A． B． C． D．

5．从2020年起，北京考生的高考成绩由语文、数学、外语3门统一高考成绩和考生选考的3门普通高中学业水平考试等级性考试科目成绩构成，等级性考试成绩位次由高到低分为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得等级的学生人数为、、、、，各等级人数所占比例依次为：等级，等级，等级，等级，等级．现采用分层抽样的方法，从参加历史等级性考试的学生中抽取200人作为样本，则该样本中获得等级的学生人数为

A．30 B．60 C．80 D．28

6．函数的零点所在的区间是

A． B． C． D．

7．向量“，不共线”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵．记鲑鱼的游速为（单位：，鲑鱼的耗氧量的单位数为．科学研究发现与成正比．当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900．当时，其耗氧量的单位数为

A．1800 B．2700 C．7290 D．8100

9．关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是

A．， B．， C．， D．，，

10．已知函数，，其中，若，，，，使得成立则

A． B． C． D．

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．

11．．

12．已知甲运动员的投篮命中率为0.7，乙运动员的投篮命中率为0.8，若甲、乙各投篮一次，则恰有一人命中的概率是．

13．已知甲、乙两组数据已整理成如图所示的茎叶图，则甲组数据的中位数是，乙组数据的分位数是．

14．已知函数

①当时，函数的值域是；

②若函数的图象与直线只有一个公共点，则实数的取值范围是．

15．在矩形中，，．

设．

①当，时，；

②若，，，2，3，4，5，6，则的最大值是．

三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（14分）已知向量，，．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）若，求实数，的值；

（Ⅲ）若，求实数的值．

17．（13分）为了解学生的周末学习时间（单位：小时），高一年级某班班主任对本班40名学生某周末的学习时间进行了调查，将所得数据整理绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图所提供的信息：

（Ⅰ）求出图中的值；

（Ⅱ）求该班学生这个周末的学习时间不少于20小时的人数；

（Ⅲ）如果用该班学生周末的学习时间作为样本去推断该校高一年级全体学生周末的学习时间，这样推断是否合理？说明理由．

18．（15分）已知函数且．

（Ⅰ）试判断函数的奇偶性，并说明理由；

（Ⅱ）当时，求函数的值域；

（Ⅲ）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

19．（14分）空气质量指数是定量描述空气质量状况的指数，空气质量指数的值越高，就代表空气污染越严重，其分级如表：

空气质量指数

空气质量类别

优

良

轻度污染

中度污染

重度污染

严重污染

现分别从甲、乙两个城市12月份监测的空气质量指数的数据中随机抽取6天的数据，记录如表：

甲

48

65

104

132

166

79

乙

80

67

108

150

205

62

（Ⅰ）估计甲城市12月份某一天空气质量类别为良的概率；

（Ⅱ）分别从甲、乙两个城市的统计数据中任取一个，求这两个数据对应的空气质量类别都为轻度污染的概率；

（Ⅲ）记甲城市这6天空气质量指数的方差为．从甲城市12月份空气质量指数的数据中再随机抽取一个记为，若，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为；若，与原有的6天的数据构成新样本的方差记为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）

20．（15分）已知函数．

（Ⅰ）判断函数的单调性，并用定义给出证明；

（Ⅱ）解不等式：；

（Ⅲ）若关于的方程只有一个实根，求实数的取值范围．

21．（14分）设是不小于3的正整数，集合，，，，，，2，，，对于集合中任意两个元素，，，，，，，．

定义．

定义2：若，则称，，，，，，，互为相反元素，记作，或．

（Ⅰ）若，，1，，，1，，试写出，，以及的值；

（Ⅱ）若，，证明：；

（Ⅲ）设是小于的正奇数，至少含有两个元素的集合，且对于集合中任意两个不相同的元素，，，，，，，，