原函数与不定积分的概念.pptx

第五章

不定积分

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第一节原函数与不定积分旳概念

不定积分又称反导数,它是求导运算旳逆运算.

一、原函数

定义如果在某区间I内F(x)f(x),则称I内F(x)

为f(x)的一个原函数.

例(sinx)cosx，sinx是cosx的原函数.

(？)3x2，(x3)3x2，(x31)3x2，

(x3C)3x2，.

本章所讲旳内容就是谋求函数旳原函数。

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问题：(1)原函数是否存在？(2)是否唯一？

原函数存在定理：

如果函数f(x)在区间I内连续，

那么在区间I内存在可导函数F(x)，

使xI，都有F(x)f(x).

简言之：连续函数一定有原函数.

所以初等函数在其定义域内都有原函数。

(但原函数不一定是初等函数)

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阐唯明一：性？

（1）若F(x)是f(x)的一个原函数,则对任何常数C,

F(x)C也是f(x)的一个原函数；

（2）设F(x)是f(x)的一个原函数,则f(x)的任一个原函

数G(x)与F(x)最多相差一个常数,即G(x)F(x)C.

[F(x)G(x)]F(x)G(x)f(x)f(x)0

所以G(x)F(x)C.

综合(2)(3),如果f(x)有一个原函数F(x),则

F(x)C是f(x)的所有原函数的一般表达式.

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二、不定积分

定义若F(x)是f(x)的一个原函数,则称F(x)C

为f(x)的不定积分,

记为f(x)dxF(x)C.



f(x)dx被F(x)C

被积

积积

积

积分

分分

体

函常

号变

现

数数

量

式

5

例1求x5dx.

66

x55x

解()x,xdxC.

66

1

例2求dx.

1x2

1

解(arctanx),

1x2

1

dxarctanxC.

1x2

6



例3求xdx.

x1

解若1，则xdxC.

1

dx

若1，则ln|x|C.

x

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阐明：x0,(lnx)dx