2024年高一数学期末专题2.3 平面向量大题综合（精选30题）备战期末真题必刷（解析版）.docx

期末专题2.3平面向量大题综合

1．（23-24高一下·黑龙江牡丹江·期末）已知平面向量.

(1)求的值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)1

【分析】（1）先计算的坐标，然后由向量模的公式可得；

（2）由数量积的坐标表示可得.

【详解】（1）因为，

所以，

所以.

（2）因为，

所以.

2．（23-24高一下·山东滨州·期末）若，求下列的值.

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)，其中为的夹角

【答案】(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

【分析】（1）根据向量加法的坐标运算即可求解，

（2）根据向量减法的坐标运算即可求解，

（3）根据数量积的坐标运算即可求解，

（4）（5）根据模长的坐标运算即可求解，

（6）由夹角公式即可代入求解.

【详解】（1）由，得

（2）由，得

（3）由，得

（4）由得，

（5）由得

（6）

3．（23-24高一下·新疆喀什·期末）已知，，，分别求下列各式的值：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】

根据平面向量的坐标运算求解即可.

【详解】（1）原式

（2）原式

（3），∴.

4．（23-24高一下·广西·期末）已知向量，．

(1)若，求实数的值；

(2)已知、、三点共线，若，，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的运算结合垂直数量积为0求解即可；

（2）根据向量平行的坐标公式求解即可.

【详解】（1）已知向量，，则

又，于是有，

即：，于是所求实数．

（2）解1：由题意有，，

又、、三点共线，

于是，

于是所求实数．

解2：已知、、三点共线，则存在实数，使得，即：，于是即为所求．

5．（23-24高一下·湖南湘西·期末）设平面内三点，，.

(1)求；

(2)设向量与的夹角为，求.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示及模长公式计算即可；

（2）利用平面向量夹角公式计算即可.

【详解】（1）根据题意，三点，，得：

，，

则，故；

（2）根据题意，，，

则，，

故.

6．（23-24高一下·安徽宣城·期末）已知平面向量满足，，且．

(1)求在方向上的投影向量；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】

（1）由，平方求得，结合投影向量的计算公式，即可求解；

（2）根据题意，结合，列出方程，即可求解.

【详解】（1）解：由，，且，

平方得，解得，

所以在方向上的投影向量为.

（2）解：因为，所以，

化简得，所以，解得

7．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）设向量，．

(1)求证：与互相垂直；

(2)设，若与垂直，求实数的值；

(3)设，当取最小值时，求的值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）根据题意，求得，即可得证；

（2）根据题意化简得到，结合，得到，即可求解；

（3）由，根据题意得到，即可求解.

【详解】（1）证明：由向量，可得，

又由，所以与互相垂直．

（2）由，可得，

因为，所以，解得．

（3）因为，

所以当时，取到最小值，于是，

又，所以．

8．（23-24高一下·辽宁葫芦岛·期末）已知非零向量，满足，且．

(1)求；

(2)当时，求和向量与的夹角θ的值．

【答案】(1)；

(2)，.

【分析】（1）根据向量数量积运算律化简即可得到答案；

（2）利用向量夹角公式即可求解.

【详解】（1）由已知得，即，；

（2），，

，

，所以．

9．（23-24高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知向量，满足，，且，的夹角为．

(1)求；

(2)若，求实数的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用向量数量积的运算律有，结合已知即可求模长；

（2）由向量垂直及数量积运算律列方程求参数值即可.

【详解】（1）由，则.

（2）由题意，

所以.

10．（23-24高一下·山西大同·期末）已知，，.

(1)求的值；

(2)求向量与夹角的余弦值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，可求的值；

（2）利用向量数量积求出，，再由向量数量积求夹角的余弦值.

【详解】（1），

由，得，所以.

（2）因为，

，

所以，.

令向量与的夹角为θ，

则，

即向量与夹角的余弦值是.

11．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，且，，设与交于点．

(1)求；

(2)求．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据数量积的定义求出，再以、为基底表示、，最后根据数量积的运算律计算可得；

（2）求出、，再根据计算可得.

【详解】（1）因为，

因为，即为的中点，所以，

又，所以，

所以

；

（2）由题意知等于向量和的夹角，

因为，所以；

因为，所以；

所以．

12．（23-24高一下·吉林长春·期末）如图，在中，．

??

(1)求的长；

(2)设为边上一