2024高考数学常考题型精华版第4讲 导数中构造函数比大小问题题型总结（解析版）.docx

第4讲导数中构造函数比大小问题题型总结

【典型例题】

题型一：构造比较大小

此函数定义域为，求导，当时，，故为增函数，当时，，故为减函数，当时，取得极大值为，且，此结论经常用来把函数转化到同一边进行比较

【例1】（2022·广东·佛山市南海区九江中学高二阶段练习）若，则的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

通过对三个数的变形及观察，可以构造出函数，通过求导分析其单调性即可得到答案

【详解】

解：，设，则时，，故在上单调递减，则，即，所以．

故选：A.

【例2】（2023·全国·高三专题练习）设，，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

结合已知要比较函数值的结构特点,可考虑构造函数,然后结合导数与单调性关系分析出时,函数取得最大值,可得最大,然后结合函数单调性即可比较大小.

【详解】

设,则,

当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,

故当时,函数取得最大值,

因为,,

,

当时,,函数单调递减,可得,

即.

故选:C

【例3】（2022·吉林·高二期末）下列命题为真命题的个数是（???????）

①；②；③；④．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【解析】

【分析】

本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小．

【详解】

解：构造函数，则，

当时，，时，，

所以函数在上递增，在上递减，

所以当时取得最大值，

，

由可得，故正确；

，由，可得，故错误；

，

因为函数在上递减，

所以，故正确；

因为，所以，

即，即，则，

即，故错误，

综上所述，有2个正确.

故选：B．

【点睛】

本题考查如何比较数的大小，当两个数无法直接通过运算进行大小比较时，如果两个数都可以转化为某个函数上的两个函数值，那么可以构造函数，然后通过函数的单调性来判断两个数的大小，考查函数思想，是难题．

【例4】（2021·陕西汉中·高二期末（理））已知a，b，c均为区间内的实数，且，，，则a，b，c的大小关系为（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

构造函数，由导数判断函数单调性，进而利用单调性即可求解.

【详解】

解：令，则，

当时，，函数在上单调递增，当时，，函数在上单调递减，

因为，所以，

因为a，b，c均为区间内的实数，且，，，

所以，

所以，

故选：B.

【例5】（2022·江西·高三阶段练习（理））设，，，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据a、b、c算式特征构建函数，通过求导确定函数单调性即可比较a、b、c的大小关系.

【详解】

令，则，

因此在上单调递减，

又因为，，，

因为，所以．

故选：B．

【题型专练】

1.（2022·四川省资阳中学高二期末（理））若，则（???????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

令，利用导数说明函数的单调性，即可得到函数的最大值，再利用作差法判断、，即可得解；

【详解】

解：令，则，所以当时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，所以

又

所以，即.

故选：A

2.（2022·浙江台州·高二期末）设，，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

由题设，，，构造并利用导数研究单调性，进而比较它们的大小.

【详解】

由题设，，，，

令且，可得，

所以有，则上递增；

有，则上递减；

又，故.

故选：B

3.（2022·四川广安·模拟预测（理））在给出的（1）（2）（3）.三个不等式中，正确的个数为（???????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题目特点，构造函数，则可根据函数的单调性解决问题.

【详解】

首先，我们来考察一下函数，则

，

令解得，

令解得，

故在区间上单调递增，在区间单调递减，

所以，（1），即，即，则正确；

（2），即，即，则错误；

（3），即，

所以，，则正确

故选：C.

4.（2022·四川资阳·高二期末（文））若，，，则（???????）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案.

【详解】

设，则，

当时，，递增，当时，，递减，

当时，函数取得最小值，

由于，故，即，

故选：A

5.（2022·山东日照·高二期末）是圆周率，是自然对数的底数，在，，，，，，，八个数中，最小的数是___________，最大的数是___________.

【答案】????????

【解析】

【分析】

分别利用指数函数的单调性，判断出底数同为以