河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期12月质量检测数学试题（含答案解析）.docx

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河南省洛阳市宜阳县第一高级中学2024-2025学年高二上学期12月质量检测数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知数列，，，，，，，则是这个数列的（）

A．第项 B．第21项 C．第项 D．第19项

2．如图在四面体中，、分别是、的中点，则（???）

A． B．

C． D．

3．已知数列满足，且，则（???）

A． B．0 C．1 D．2

4．已知直线，则这条直线的倾斜角的取值范围是（???）

A． B． C． D．

5．罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（???）

??

A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米

6．已知直线的方向向量为，且过点，则点到直线的距离的最小值为（???）

A．1 B．2 C． D．6

7．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆离心率为（????）

A． B． C． D．

8．一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（????）

A． B．1 C．2 D．

二、多选题

9．已知向量，则下列结论正确的是（????）

A．向量与向量的夹角为

B．

C．向量在向量上的投影向量为

D．向量与向量共面

10．已知圆，，则下列说法正确的是（???）

A．当时，圆与圆有2条公切线

B．当时，是圆与圆的一条公切线

C．当时，圆与圆相离

D．当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为

11．数列满足，且对任意均有．记数列的前项和为，则的值可能是（???）

A． B． C．1 D．2

三、填空题

12．已知直线与直线垂直，则.

13．如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点．则与所成的角为．

14．设为数列的前项积，若，其中常数，数列为等差数列，则．

四、解答题

15．已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围．

16．已知圆经过点，且圆心在直线上.

(1)求圆的方程；

(2)已知直线过点，圆上恰有三个点到直线的距离等于1，求直线的方程.

17．已知数列的前项和为，，，．

(1)证明：为等差数列；

(2)在数列中，，，若的前项和为，证明：．

18．如图所示，三棱柱中，．平面，，点是的中点．

(1)证明：；

(2)求与平面所成角的正弦值．

19．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形．

(1)求椭圆方程；

(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为．

①求的值；

②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值．

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参考答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

C

D

C

B

D

C

BD

BC

题号

11

答案

BD

1．C

【分析】令，解出即可得.

【详解】令，解得，

所以是这个数列的第项.

故选：C.

2．D

【分析】根据三棱锥的几何性质，结合空间向量的线性运算，可得答案.

【详解】由、分别是、的中点，则，，

.

故选：D.

3．C

【分析】根据递推公式，逐项求解，可得答案.

【详解】由，则，，，.

故选：C.

4．D

【分析】由已知直线方程求得直线斜率的范围，再由斜率等于倾斜角的正切值求解直线倾斜角的范围．

【详解】直线的斜率．

因为直线的倾斜角为，则，

根据正切函数的性质可得．

故选：D．

5．C

【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可.

【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列，

所以米.

故选：C

6．B

【分析】利用向量单位化，求得直线的单位方向向量，利用点线距的向量公式，可得答案.

【详解】与向量同向的单位向量，则直线的单位方向向量为，

设，则点到直线的距离为，

易知当时，距离取得最小值为