2024年高三数学期末专题03 导数及其应用压轴题综合（精选35题）（解析版）.docx

期末专题03导数及其应用压轴题综合（精选35题）

一、单选题

1．（21-22高二上·江苏盐城·期末），不等式恒成立，则的最大值是（????）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导函数研究其单调性，得到，进而得到恒成立，求出函数，的最值，得到答案.

【详解】令，，，显然，

当时，恒成立，即在上单调递增，无最小值，舍去；

当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为，不等式恒成立，所以，所以，

恒成立，令，，，当时，，当时，，所以，所以，则的最大值为.

故选：D

【点睛】构造函数求解双变量问题，化为单变量，结合函数极值，最值进行求解.

2．（21-22高二下·山东青岛·期末）已知，，，则a，b，c的大小关系是（????）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数得出大小，又即得出结论.

【详解】构造函数，则，

在上恒成立，则在上单调递减，故，则，

，则，

由对于函数，恒成立，

所以，即在上恒成立.

所以，（注：）

所以，

故选：C

3．（22-23高二下·湖北·期末）已知，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】

通过构造，，三个函数，将三个数与进行比较，得到，；

再通过构造，，通过二次求导的方法比较b和c的大小即可得到答案.

【详解】

先比较和的大小：

构造，

则对恒成立，则在单调递增，

此时，当且仅当时取等，

所以，则；

构造，

则对恒成立，则在单调递减，

此时，当且仅当时取等，

所以，则；

构造，

则对恒成立，则在单调递减，

此时，当且仅当时取等，

所以，则；

则，；

下面比较b和c的大小：

设，，

，

设，，，

易知在上单调递增，则，

所以在上单调递减，，

即在上恒成立，则在上单调递减，

由，则，即，则.

综上，

故选：B

【点睛】

方法点睛：本题考查通过导数的综合运用.比大小问题要熟悉各类常见的放缩，找出结构的相同之处，通过构造函数，运用导数这一工具，对数据进行大小的比较.

4．（21-22高一下·浙江金华·期末）若函数，则下列说法正确的是（?????）

A．若，则对于任意函数都有2个零点

B．若，则对于任意函数都有4个零点

C．若，则存在使得函数有2个零点

D．若，则存在使得函数有2个零点

【答案】B

【分析】先判断出偶函数，求导讨论在上的单调性，确定最小值，再结合选项，讨论最小值和0的大小，进而分析出的零点，再分析的零点即可.

【详解】易得定义域为R，又，则为偶函数；当时，，，

当时，则，则在上单增，，又为偶函数，则在R上，；

对于A，若，则，故在R上有，令，则，易得，则无零点，故A错误；

对于B，若，则，又，故在上有1个零点，又为偶函数，

则在上有另一个零点，则零点的个数等价于以及解的个数，又，易得有2个解，

又，令，则，则单增，即，

则，可得，即，即，则有2个解，

综上可得对任意，以及有4个解，即有4个零点，故B正确；C错误；

若，则，则有唯一零点0，则零点的个数等价于解的个数，

显然只有1个解0，即对任意，只有1个零点，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题关键点在于讨论最小值和0的大小，进而分析出的零点；当时，易得有两个零点，，通过构造函数判断和的大小，是求出解的个数的关键.

5．（22-23高二下·浙江台州·期末）已知定义在上的函数，，记在上的个极值点为，且，则（????）

A．为奇函数 B．为偶函数

C．在单调递减 D．在单调递减

【答案】C

【分析】求导后，将极值点个数转化为与的交点个数问题，结合正切函数对称性可求得，代回验证可知满足题意；根据奇偶性定义可知AB正误；结合在区间上的单调性可知CD正误.

【详解】，

令，则，

当时，，则无解，此时在上无极值点；

当时，，

在上有三个极值点，与在上有三个不同交点，

，，

与均关于对称，

令，解得：，

的对称中心为，

又在处有意义，，解得：，

，；

当时，，，

令，则，

作出与在上的图象如下图所示，

??

；

当时，，，即；

当时，，，即；

当时，；

当时，，，即；

当时，，，即；

当时，；

当时，，，即；

当时，，，即；

在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，

是的极小值点，是的极大值点，

由正切函数与一次函数对称性可知，满足题意；

综上所述：；

对于A，的定义域为，，

为定义在上的偶函数，A错误；

对于B，，，

，不是偶函数，B错误；

对于C，在上单调递减，，在上单调递减，C正确；

对于D，在上单调递增，，在上单调递增，D错误.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及极值点的问题；解题关键是能够将问题转化为一次函数与正切函数交点个数问题，结合正切函数的对称性确定参数的取值，从而得到具体函数的解析式.

二、多选题

6．（2