2024年高三数学期末专题13 新定义综合（函数新定义、数列新定义）（附加）（精选30题）（解析版）.docx

期末专题13新定义综合（函数新定义数列新定义）（附加）（精选30题）

一、单选题

1．（22-23高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知定义数列为数列的“差数列”，若的“差数列”的第项为，则数列的前2023项和（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据给定条件可得，利用累加法求出数列的通项，再利用等比数列前n项和公式求解作答.

【详解】依题意，，当时，

，而满足上式，因此，

所以.

故选：D

2．（23-24高二上·湖北·期末）定义：在数列中，若对任意的都满足为常数，则称数列为等差比数列．已知等差比数列中，，，则（????）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据题中条件可求得数列的通项公式，继而，利用通项公式计算即可.

【详解】因为为等差比数列，，，，

所以是以1为首项，2为公差的等差数列，

所以，

所以

故选：

3．（23-24高二上·甘肃金昌·期中）定义表示不超过的最大整数，例如：．若，数列的前项和为，则（????）

A．64 B．70 C．77 D．84

【答案】C

【分析】根据取整函数分段求出通项公式进而求和即可.

【详解】因为，所以当时，；

当时，；

当时，；

当时，．

所以．

故选：C．

4．（22-23高二下·山西大同·期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，，则下列叙述正确的是（????）

A．是偶函数 B．在上是增函数

C．的值域是 D．的值域是

【答案】B

【分析】根据奇偶性的定义即可判断A,根据常见函数的单调性即可判断B,由函数的单调性即可判断C，根据高斯函数的定义即可求解D.

【详解】，

对于A，由于，所以，故不是偶函数，故A错误，

对于B,由于单调递增且恒为正，所以为单调递增，B正确，

对于C，，，所以，故C错误，

对于D，由于，所以，故D错误，

故选：B

5．（22-23高二下·福建泉州·期末）对于定义在区间上的函数，若满足：且，都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”，且，又当时，恒成立，下列命题中正确的有（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】令，则有，求得，可判定A不正确；根据“非减函数”的定义，结合赋值法，逐项判定，可得判定B、C不正确，D正确.

【详解】对于A中，由，

令，则有，可得，故A不正确；

对于B中，当时，，又由，所以，因为，故B不正确；

对于C中，因为，因为且，都有，

所以当时，，故C不正确；

对于D中，当时，，可得，

又由，所以时，，所以，故D正确；

故选：D.

6．（22-23高二下·湖南·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列.类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列：1，1，3，27，729…是一阶等比数列，则的值为（参考公式：）（????）

A．60 B．120 C．240 D．480

【答案】B

【分析】

设，则由题意可知为等比数列，其中，，从而可求出，利用累乘法可求出，从而可求出，然后利用分组求和法可求得结果.

【详解】

由题意，数列1，1，3，27，729，…为，且为一阶等比数列，

设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，

则，，

所以，，

因为，，也适合上式，所以，

所以

.

故选：B.

7．（23-24高二上·全国·期末）已知数列满足，且，若表示不超过x的最大整数(例如)，则（????）

A．4048 B．4046 C．2023 D．2024

【答案】D

【分析】由条件构造等差数列，结合累加法求，再得，利用高斯函数的定义计算即可.

【详解】由题设知，

故是首项为4，公差为2的等差数列，则，

由累加法可知当时，

，

所以，又也符合该式，所以，

所以

又时，，时，，

所以.

故选：D

8．（23-24高二上·广东东莞·期末）在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得新数列按照同样的方法进行构造，可以不断形成新的数列．现对数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2；…依次构造，记第n（）次得到的数列的所有项之和为，则（????）

A．1095 B．3282 C．6294 D．9843

【答案】B

【分析】根据给定条件，得到第次构造后数列的和与第次构造后数列的和的关系，再求出数列的通项即可.

【详解