2024-2025学年江苏省无锡市高二上学期期中考试数学检测试卷（附解析）.docx

2024-2025学年江苏省无锡市高二上学期期中考试数学

检测试卷

一、单选题

1．求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（???）

A． B．

C．或 D．

2．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（???）

A． B． C． D．

3．已知圆关于直线对称，则实数（????）

A．1或 B．1 C．3 D．或3

4．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（????）

A． B． C． D．

5．已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（????）

A．5 B． C．2 D．1

6．已知圆和圆，则圆和圆的公切线条数为（????）

A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知圆，直线，则（???）

A．直线恒过定点

B．直线与圆有三个交点

C．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于

D．过直线的平行线上一动点作圆的一条切线，切点为，则

8．在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（????）

A． B． C．1 D．

二、多选题

9．关于空间向量，以下说法正确的是（???）

A．若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则

B．若空间中任意一点，有，则四点共面

C．若空间向量满足，则与夹角为钝角

D．若空间向量，则在上的投影向量为

10．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（????）

A．椭圆离心率为

B．

C．若，则的面积为

D．最大值为

11．如图所示四面体中，，，，且，，为的中点，点是线段上动点，则下列说法正确的是（????）

A．；

B．当是靠近的三等分点时，，，共面；

C．当时，；

D．的最小值为．

三、填空题

12．过两点的直线l的倾斜角为，求的值为．

13．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1ab0的左?右焦点分别为，若为椭圆上一点，

14．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是．

四、解答题

15．在中，边，上的高所在直线的方程分别为与，点的坐标为.

(1)求边的高所在直线的一般式方程；

(2)求边的中线所在直线的斜率.

16．已知直线与椭圆相交于不同的两点.

(1)求实数的取值范围；

(2)若，其中为坐标原点，求实数的值.

17．已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴上且在直线的上方.

(1)求圆的方程；

(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.

18．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，且分别为的中点．

??

(1)求证：平面；

(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值；

(3)在平面内是否存在点，满足？若存在，请求出点的轨迹长度；若不存在，请说明理由．

19．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点的距离之比值为常数的点的轨迹是圆，我们称之为阿波罗尼斯圆.已知点到的距离是点到的距离的2倍.

(1)求点的轨迹的方程；

(2)过点作直线，交轨迹于，两点，，不在轴上.

（i）过点作与直线垂直的直线，交轨迹于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；

（ii）设轨迹与轴正半轴的交点为，直线，相交于点，试证明点在定直线上，求出该直线方程.

答案：

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

C

D

C

D

D

C

C

C

ABD

BCD

题号

11

答案

BCD

1．C

【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程.

【详解】由题意可知，，

若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，

将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，

此时，椭圆的标准方程为；

若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为，

将点的坐标代入椭圆方程可得，解得，

此时，椭圆的标准方程为.

综上所述，椭圆的标准方程为或.

故选：C.

2．D

【分析】分析可知，，根据空间向量共线的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出的值.

【详解】因为是直线的方向向量，是平面的法向量，且，

则，则，所以，，解得，，

因此，.

故选：D.

3．C

【分析】根据圆方程可得，确定或，再根据圆关于直线对称可得圆心在直线上即可求解.

【详解】因为是圆的方程，

所以，解得或，

又因为圆的圆心为，

且圆关于直线对称，所以，

即，解得，（舍）或，

故选：C.

4．D

【分析】由得，然后两边平方，结合向量数量积的运算求向量的夹角.

【详解】设与的夹角为，由，得，

两边同时平方得，

所以1，解得，

又，所以.

故选：D

5．D

【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案.

【详解】

，为一个焦点，设另一焦点为，

且，