2024-2025学年陕西省商洛市高二上学期期中考试数学检测试题（附解析）.docx

2024-2025学年陕西省商洛市高二上学期期中考试数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1．直线的倾斜角为（????）

A．30° B．60° C．120° D．150°

2．抛物线的焦点坐标为（????）

A． B． C． D．

3．圆和圆的位置关系是（????）

A．相离 B．外切 C．内切 D．相交

4．在空间四边形中，，分别为，的中点，，，，，则（????）

A． B．

C． D．

5．已知点是双曲线：的渐近线上在第一象限内的一点，为的左焦点，则直线斜率的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（????）

A． B． C． D．

7．已知点在直线上，那么的最小值为（????）

A． B． C． D．2

8．已知，为椭圆的两个焦点，、为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为（????）

A．10 B．8 C．24 D．

二、多选题（本大题共3小题）

9．如图，已知正方体的棱长为1，则（????）

??

A．

B．平面

C．平面与平面的夹角为

D．点到平面的距离为

10．已知方程表示的曲线为，则（????）

A．当时，曲线表示椭圆

B．存在，使得表示圆

C．当或时，曲线表示双曲线

D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则焦距为

11．已知圆，点是圆上的点，直线，则（????）

A．直线与圆相交所得弦长是

B．的最大值是

C．圆上恰有个点到直线的距离等于

D．过点向圆引切线，为切点，则最小值为

三、填空题（本大题共3小题）

12．平行线与间的距离为．

13．设、、，，，，且，，则.

14．如图，双曲线：的左、右焦点，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率是．

四、解答题（本大题共5小题）

15．（1）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；

（2）求点关于直线的对称点的坐标.

16．在①过点，②圆E恒被直线平分，③与y轴相切这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.

已知圆E经过点，且______.

(1)求圆E的一般方程；

(2)设P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程.

17．在四棱锥中，底面．

(1)证明：；

(2)求PD与平面所成的角的正弦值．

18．已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为.

(1)求这两条曲线的方程；

(2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；

(3)若为两条曲线的交点，求的余弦值.

19．已知椭圆的离心率为，焦距为.

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线与椭圆相交于、两点，且.

（i）试求、的关系式；

（ii）证明：的面积为定值.

答案

1．【正确答案】A

【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为30°.

故选A.

2．【正确答案】C

【详解】解：将方程化为标准方程为，

所以其焦点坐标为.

故选：C

3．【正确答案】D

【详解】由，则，半径，

由，则，半径，

所以，即两圆相交.

故选D.

4．【正确答案】D

【分析】根据空间向量的线性运算法则进行运算即可.

【详解】

．

故选：D

5．【正确答案】A

【详解】由题意知，，，

故的过第一象限的渐近线斜率为，且，

又与原点连线的斜率为0，故斜率的取值范围为．

故选：A．

6．【正确答案】B

【详解】

??

以为坐标原点，向量方向分别为轴，建立空间直角坐标系，

则，

所以，，

所以异面直线与所成角的余弦值等于

.

故选：B

7．【正确答案】C

【分析】将用表示，根据二次函数的性质即可得结果.

【详解】由点在直线上可知，

，

当时取得最小值5，

故选：C.

8．【正确答案】B

【详解】椭圆中，，

因为、为C上关于坐标原点对称的两点，所以，

又，故四边形为平行四边形，

又，故四边形为矩形，即⊥，

由勾股定理得①，

由椭圆定义得②，

式子②平方得，

结合①得，

故四边形的面积为.

故选：B

9．【正确答案】ACD

【分析】根据正方体性质可利用线面垂直判定定理证明平面，由线面垂直性质可知A正确；易知平面即为平面，显然与平交于点，即B错误；根据二面角的定义可知即二面角的平面角为，即C正确；利用等体积法即可求得点到平面的距离为，可得D正确.

【详解】连接，如下图所示：

??

对于A，由正方体性质可知，平面，又平面，所以；

又因为是正方形，所以，

又，且平面，所以平面；

平面，所以可得，即A正确；

对于B，平面即为平面，又平面，

即与平交，所以B错误；

对于C，平面平面，易知，，

所以即为平面与平面夹角的平面角，显然，

即平面与平面的夹角为，可知C正确；

对于D，易知三棱锥与三棱锥的体积相等，

设点到平面的距离为，

即，可得，所以；

即点到平面的距离