清华大学2024年强基计划数学试题解析.pdfVIP

1、已知{sinθ,sin20,sin30)={cosθ,cos20,cos30),则θ=__.

【答案】e=(48+z.kez

【解析】∵{sinθ,sin20,sin30)={cosθ,cos20,cos30;

∴sinθ+sin20+sin3θ=cosθ+cos20+cos30

∴sin2(sinO+sin28+sin30)=sin?(cosθ+cos28+os3)

∴cs9-cs?9=sm?9-sin2

∴sim9+cos9=sin?9+cs22

∴2sm(+4)=√2sm(9+4)

∴(2+4)-(+4)=30=2kπ,keZ,或(

∴o=s~kez,或e=(4+T,kez

考虑周期性，只需要检验6e=0.3m3m88”8“.g”

经检验：都符合，

θ=88”8n.8”e=0.2n失”不符合，∴o=(4x+),kez

2、已知e°+a=Inb+b=4,下列选项中正确的有().

A.aInb+blna1B.alnb+blna=1

C.ab4D.abe

【答案】ACD

函数y=4-x也关于直线y=x对称，所以点(a,e°),(b,Inb)关于直线y=x对称

,但a≠b,不能取等号，

∴e=b=4-a,∴a+b=4,∴abs(a+b)=4,

∴ab4,C选项正确

选项正确

3、某城市内有若干街道，所有街道都是正东西或南北向，某人站在某段街道正中央开始走，每个点至多经

过一次，最终回到出发点.已知向左转了100次，则可能向右转了()次.

A.96B.98C.104D.102

【答案】AC

【解析】总体的路线形成一个多边形，如果出发点在多边形的边上，左转、右转的次数差一定是4的倍数，

如果出发点在多边形的顶点上，左转、右转的次数差一定奇数，因此只有AC有可能.

下面两图的路线分别对应右转96次和104次的情形：

出发点

出发点

(左转、右转各96次后，再左转4次)(右转、左转各100次后，再右转4次)

4、在平面直角坐标系内，Me(x,y20+gs1),

M的个数为___

【答案】65

【解析】设M(x.,y。),直线OA的方程为

v=2x,即x-2y=0

Sc-0k-3k-2s3

29y2+4ky,≤200-k2

当k=0时，29y。2≤200,y?=0,±1,±2,有5个整点；

当k=1时，29y2+4y?≤199,=0,±1,±2,有5个整点；

当k=2时，29y2+8y,≤196,y。=0,±1,±2,有5个整点；

当k=3时，29y2+12y?≤191,?=0,±1,±2,有5个整点；

当k=4时，29y。2+16y。≤184,y=0,±1,±2,有5个整点；

当k=5时，29y?2+20y。≤175,y。=0,±1,±2,有5个整点；

当k=6时，29y2+24y。≤164,。=0,±1,±2,有5个整点；

根据对称性，当k=-1,-2,-3,…,-6时，也分别有5个整点.

∴共有65个整点

5、已知la=1,n-(a≥0,aeR).下列选项中正确的有().

A.存在λ,使存在正整数N,使n≥N时，aa,恒成立

B.存在A,使不存在正整数N,使n≥N时，aa,恒成立

C.存在A,使存在正整数N,使n≥N时，a灬a.恒成立

D.存在λ,使不存在正整数N,使n≥N时，aa,恒成立

【答案】BCD

【解析】若A≤0,则{a.)正负交替，BD选项正确；若A0,则存在正整数N,使n≥N时，

n-2、1,

∴a..a,A选项错误，C选项正确

,下列选项中正确的有().(用[x]表示不超过x的最大整数)

6、已知a=1,am=a.+

c.

A.lim=3B.la,J=20

血-√5D.lam]=30

【答案】AD

,显然{a.单调递增，当n≥2时，

【解析】a?=a+=2,