专项18 利用垂径定理求线段长度（解析版）.pdfVIP

专项18利用垂径定理求线段长度

考点1垂径定理

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧.

符号语言：∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，且CD⊥AB，垂足为E，

∴AE＝BE,

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

∵CD为⊙O的直径，AB为⊙O的弦（不是直径），且AE＝BE.

弦心距：圆心到弦的距离（垂线段OE）

常见辅助线做法（考点）：1）过圆心，作垂线，连半径，造Rt△，用勾股，求长度；

2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分

考点2垂径定理的应用

经常为未知数，结合方程于勾股定理解答

【典例1】（2021九上·温州期末）如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.已知OC=5，

OD=4，则弦AB的长为()

A．3B．4C．5D．6

【答案】D

【解答】解：∵OC⊥AB，

∴AD=DB，

∵OC=OB=5，OD=4

∴在Rt△ODB中，由勾股定理得：BD=2−2=52−42=3

∴AB=2BD=2×3=6.

故答案为：D.

【变式1-1】（2021九上·平谷期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CDAB，垂足为点E，

若⊙O的半径为5，CD=8，则AE的长为（）

A．3B．2C．1D．3

【答案】B

【解答】解：连接OC，如图

AB⊙OCDABECD=8

∵为的直径，，垂足为点，，

11

==×8=4

∴，

22

==5

∵，

=22=22=3

∴−5−4，

=5−3=2

∴；

故答案为：B．

【变式1-2】（2022九上·东阳期末）在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截

面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油

面AB上升了（）cm

A1B3C34D17

．．．或．或

【答案】D

①18cmCDON⊥ABCD

【解答】解：分两种情况求解：如图，宽度为的油面，作与、

AB的交点为M、N

11

由题意知⊥，===4，===3

22

在△中，由勾股定理得=2−2=4

在△中，由勾股定理得=2−2=3

=−=1

∴

②28cmEFPN⊥EFABEFNPOB

如图，宽度为