专项20 切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）（原卷版）.pdfVIP

专项20切线的证明方法归类（2大类型+5种方法）

证明一条直线是圆的切线的方法及辅助线的作法

（1）连半径、证垂直：当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接

起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”

（2）作垂直，证半径：当直线和圆的公共点没有明确时，可以过圆心作直线的

垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”

【考点1有公共点：连半径，证垂直】

方法1：特殊角计算法证垂直

【典例1】（2022•思明区校级一模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O交⊙O于点C，

∠A＝∠B＝30°，连接BD．求证：BD是⊙O的切线．

【变式1-1】（2021•广东二模）如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，连

接BD，∠DAB＝∠B＝30°，求证：直线BD是⊙O的切线．

【变式1-2】（2021秋•潍坊期末）如图，A、B、C分别是⊙O上的点，∠B＝60°，CD是

⊙O的直径，CD＝2，E是CD延长线上的一点，且AE＝AC．

（1）求证：AE是⊙O的切线；

（2）求ED的长．

方法2：等角代换法证垂直

【典例2】（2020秋•福州期末）如图，AB是⊙O的直径，C为半圆O上一点，直线l经过

点C，过点A作AD⊥l于点D，连接AC，当AC平分∠DAB时，求证：直线l是⊙O的

切线．

【变式2-1】（2017秋•荆州区期末）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，D为BC的中点，

以AC为直径的⊙O交AB于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若AE：EB＝1：2，BC＝6，求⊙O的半径．

【变式2-2】（2021秋•灌南县期末）已知：如图，AB是⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O

于点D，点E是AC的中点，ED与AB的延长线交于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若∠F＝30°，BF＝2，求△ABC外接圆的半径．

方法3：平行线性质法证垂直

【典例3】（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交

BC于点P，PD⊥AC于点D．求证：PD是⊙O的切线；

【变式3-1】（2022•大兴区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，

O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．求证：BC是⊙O切线；

【变式3-2】（2021•崆峒区一模）如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥

AC．

求证：DE是⊙O的切线．

【变式3-3】（2022•百色一模）如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O，交AC

于点D，连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．求证：DE是⊙O的切线；

方法4：全等三角形法证垂直

【典例4】（2022•东明县一模）已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O

与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD，求证：DE是⊙O的切线．

【变式4-1】（2021秋•虎林市校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径

的⊙O交斜边AB于点D，若E是AC的中点，连接DE．求证：DE为⊙O的切线．

【考点2无公共点：做垂直，证半径】

方法5：角平分线的性质法证半径

【典例5】（2020•八步区一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC的角平分线交BC于点D，E

为AB上一点，DE＝DC，以D为圆心，DB的长为半径作⊙D，AB＝5，BE＝3．

求证：AC是⊙D的切线；

【变式5-1】（2018•天河区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BD是角平分

线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相交于点E

求证：BC是⊙D的切线；

方法6：全等三角形法证半径

【典例6