高中数学 同步学案 余弦定理.doc

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8．2余_弦_定_理

[读教材·填要点]

1．余弦定理

(1)三角形的一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦值乘积的两倍,即

a2＝b2＋c2－2bccosA.

b2＝a2＋c2－2accos_B.

c2＝a2＋b2－2abcos_C.

(2)余弦定理的另一种形式

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc).

cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac).

cosC＝eq\f(b2＋a2－c2,2ab).

2．余弦定理的作用

(1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角．

(2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边．

(3)将角的余弦值用边来表示．

[小问题·大思维]

1．勾股定理和余弦定理的区别与联系．

[提示]勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系,余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系．勾股定理可以看作是余弦定理的特殊情况,余弦定理可以看作是勾股定理的推广．

2．已知三角形任意两边与一角,借助于正、余弦定理是否能求出其他元素？

[提示]能．已知三角形两边与一角有如图所示的两种情况：

图①中已知角A和边a,b,可由正弦定理先求角B和角C,继而可求边c,也可设出边c,利用余弦定理求边c,继而利用正弦定理求角B,C.

图②中已知角A和边b,c,可先由余弦定理求边a,继而可由正弦定理求角B,C.

已知三条边解三角形

在△ABC中,

(1)若a＝2eq\r(3),b＝eq\r(6),c＝3＋eq\r(3),解此三角形；

(2)若a＝3,b＝4,c＝eq\r(37),求最大角．

[解](1)法一：由余弦定理的推论得

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(?\r(6)?2＋?3＋\r(3)?2－?2\r(3)?2,2×\r(6)×?3＋\r(3)?)＝eq\f(\r(2),2),

∴A＝45°.同理可求B＝30°,故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.

法二：由余弦定理的推论得

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(?\r(6)?2＋?3＋\r(3)?2－?2\r(3)?2,2×\r(6)×?3＋\r(3)?)＝eq\f(\r(2),2),

∴A＝45°.

由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)知eq\f(2\r(3),sin45°)＝eq\f(\r(6),sinB),

得sinB＝eq\f(\r(6)·sin45°,2\r(3))＝eq\f(1,2).

由ab知AB,∴B＝30°.

故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.

(2)由cba,知C最大,

∵cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(32＋42－37,2×3×4)＝－eq\f(1,2),

∴C＝120°.

(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值,值为正,角为锐角；值为负,角为钝角,其思路清晰,结果唯一．

(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系,常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质,转化为已知三边求解．

1．在△ABC中,若sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8,求B的大小．

解：由正弦定理得：a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝5∶7∶8,

设a＝5x,b＝7x,c＝8x,

∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(?5x?2＋?8x?2－?7x?2,2×5x×8x)＝eq\f(1,2).

∵0°B180°,

∴B＝60°.

已知两边及夹角解三角形

△ABC中,已知a＝eq\r(3),b＝eq\r(2),B＝45°,解此三角形．

[解]由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB,∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c.

即c2－eq\r(6)c＋1＝0,解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2),

当c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)时,由余弦定理得

cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).

∵0°A180°,∴A＝60°,C＝75°,

当c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)时,由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\