浅谈高中数学中的导数 .pdf

摘要：随着新课改的深入，高考对导数的考查逐渐加强，而三次函数问题

是中学教材研究导数的重要载体，所以三次函数成为命题中的新亮点。由于三次

函数的导数为二次函数，因此，以三次函数为载体，背景新颖独特，利用导数解

决的问题在考试中屡见不鲜。下面通过对考题进分析，以提高学生对三次函数

的导数问题的认识。

关键词：数学；三次函数；导数

一、三次函数的单调性问题

例1.已知函数f(x)=4x3+3tx2-6tx+t-1,其中t—R。

(1)当t=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(2)当伊0时，求f(x)的单调区间。

解析：第一问考查导数的几何意义，解决关键是求出切线的斜率；第二问通

过三次函数求导后得到二次函数，由于二次函数对应的方程根含字母，需要对两

个根进讨论。

(1)当t=1时,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f(x)=12x2+6x-6,f(0)

=-6o所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x。

(2)f(x)=12x2+6tx-6t2,令f(x)=0,解得x=-t或x=.,因为伊0,以

下分两种情况讨论：

①若tvO,f(x)v0的解集是・-t；

所以，f(X)的单调递增区间是-00,■,(-t,+°°)；

f(x)的单调递减区间是■，-1。

②若t0,f(x)0的解集为(-00,-t)Uh,+°°；

所以，f(X)的罩调递增区间是(-8,-t),■,+8；

f(x)的单调递减区间是-t,・。

点评：本题是直接考查导数的应用，需要对根进讨论，增加了问题的难度，

此外利用导数判断函数单调性及函数区间应注意：在利用导数讨论函数的单调区

间时，首先要确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨

论导数的符号，来判断函数的单调区间。

二、三次函数的最值问题

例2.设f(x)=-・x3+・x2+2ax

(1)若f(x)在■,+8上存在单调递增区间，求a的取值范围；

(2)当0vav2时，f(x)在［1,4上的最小值为求f(x)在该区间上的

最大值。=p=,,H

解析：若对于三次函数f(x)在区间［a,b存在单调递增区间，则只需f(x)

的导函数在区间［a,b上的最大值大于0即可。第二问显然考查导数的逆向应用，

根据最小值利用待定系数法求得参数a,再求最大值。

(1)由f(x)=-x2+x+2a=-x-・2+・+2a

当xG.,+8时,f(x)的最大值为f.=.+2a；

令.+2a0,得a-«,所以，当a-■时，f(x)在■,+°°上存在单调递增区

间。

(2)令f(x)=0,得两根x仁■,x2=Bo

所以f(x)在(-8,x1),(x2,+8)上单调递减，在(x1,x2)上单调

递增。

当0vav2时，有x1v1vx2v4,所以f(x)在［1,4上的最大值为f(x2)。=*

p=

又f(4)-f(1)=-.+6av0,即f(4)f(1)=p=,,H

所以f(x)在［1,4上的最小值f(4)=8a-»=-»

得a=1,x2=2,从而f(x)在［1,4上的最大值为f(2)=■□

点评：通过已知函数的最值确定参数的值或取值范围，是导数的逆向应用，

也是导数应用的一大亮点，充分展现了导数应用的活力。最值一般在极值点或端

点处取，利用这一特征可以快速解决最值问题。

三、三次函数的极值问题

例3已知函数f(x)=x3+3ax2+(3-6a)x-12a-4{aGR}

(I)证明：曲线y=f(x)在x=0处的切线过点

(2,2)；

(H)若f(x)在x=xO处取得极小值，xOG(1,3),求a的取值范围。

解析：利用可导函数求函数极值的基本方法：设函数y=f(x)在点xO处连

续不断且f(x)=0,若在点xO附近左侧F(x)0,右侧f(x)0,贝Uf(xO)