2025届中考复习专题：圆的常考模型汇总（解析版）.pdf

2025届中考复习专题:圆的常考模型归纳

目录

【题型1】弦切角定理与切割线定理

【题型2】中点弧模型

【题型3】内心模型

【题型4】线段和差问题（构造手拉手）

【题型5】阿基米德折弦定理

【题型6】平行弦与相交弦，垂直线，割线模型

【题型7】垂径图

【题型8】等腰图

【题型9】双切图

【题型10】射影图

【题型11】切割图

【题型12】圆与三角函数综合

【题型13】圆与相似综合

圆的基本模型（一）：圆幂定理

1.弦切角与切割线

弦切角：弦和切线所夹的角等于它们所夹的弧所对的圆周角，即切线AP和弦AB所夹的∠1，等于它们所

夹的弧所对的圆周角∠2

2.圆幂定理

①相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

②切割线定理：从圆外点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

③割线定理（推论）：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。

【统一归纳】：过任意不在圆上的一点P引两条直线l1、l2，l1与圆交于A、B（可重合，即切线），l2与

圆交于C、D（可重合），则有

【模型图解】

相交弦定理割线定理切割线定理切线长定理

PA·PB=PC·PDPA·PB=PC·PDPA²=PC·PDPA=PC

统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两

个重合的“交点”）于点A、B、C、D,则有

圆幂定理:过一个定点P的任何一条直线与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两条线段的乘积为定值

（定值称做点P对⊙O的“幂”，等于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝对值）

【问题】求证（点在圆外）

【证明】由切割线定理推论得：PA·PB=PC·PD，

又∵PC·PD=(PH―CH)(PH+CH)=PH²―CH²

=(OP²―OH²)―(r²―OH²)

=OP²―r²

【例题】如图，已知PAB是⊙O的割线，PO=14cm，PA=4cm，AB=16cm。求⊙O的半径。

【证明】由得，r²=OP²－PA·PB=132,∴r=

圆的基本模型（二）：中点弧模型

点P是优弧AB上一动点，则

【简证】∠1＝∠2，∠PCB为公共角，子母型相似

【补充】⑥PE•PC＝PA•PB，注意：⑥不能反推出前五项

【例】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC、BD交于点P，且AB=AD，若AC=7，AB=3，则

BC•CD=．

易知，则，

圆的基本模型（三）：内心模型与等腰

【模型讲解】外接圆+内心⇒得等腰

如图，圆O是△ABC外接圆圆心，I是三角形ABC的内心，延长AI交圆O于D，则DI＝DC＝BD



【简证】∠1＝∠4＋∠5,∠4＝∠3，∠2＝∠5∴∠1＝∠2＋∠3

圆的基本模型（四）：线段和差问题（构造手拉手或阿基米德折弦定理）

1.中点弧与旋转

【模型解读】点P是优弧AB上一动点，且点C是的中点

邻边相等+对角互补旋转相似模型，一般用来求圆中三条线段之间的数量关系.



由于对角互补，即，显然共线，且，通过导角不难得出相似.

2.常见结构

（1）圆内接等边三角形结论：，可构造做角平分线或