专项30 二次函数与平行四边形有关的问题（原卷版）.pdfVIP

专项30二次函数与平行四边形有关的问题

1.线段中点坐标公式

平面直角坐标系中，点A坐标为（，），点B坐标为（，），则线段AB中点坐标为

x1y1x2y2

xxyy

1212

2,2



2.平行四边形顶点公式：

平行四边形的点坐标分别为A（，），B（，），C（,)，D(,)，

xAyAxByBxCyCxDyD

则，

xAxCxBxDyAyCyByD

分类：

1.三个定点，一个动点问题

已知三个定点的坐标，可设出抛物线上第四个顶点的坐标，运用平行四边形顶点坐标公

式列方程（组）求解。这种题型由于三个定点构成的三条线段中哪条为对角线不清楚，往

往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情况讨论；

2.两个定点、两个动点问题

这中题型往往比较特殊，一个动点在抛物线上，另一个动点在x轴（y轴）或对称轴或某

一条直线上。设出抛物线上的动点坐标，另一个动点若在x轴上，纵坐标为0，则用平行四

边形顶点纵坐标公式；若在y轴上，横坐标为0，则用平行四边形顶点横坐标公式。该动点

哪个坐标已知就用与该坐标有关的公式。

方法总结：

这种题型，关键是合理有序分类：无论式三定一动，还是两定两动，统统把抛

物线上的动点作为第四个动点，其余三个作为顶点，分别以这三个定点构成的三

条线段为对角线分类，份三种情况讨论，然后运用平行四边形顶点坐标公式转化

为方程（组），这种解法，不必画出平行四边形草图，只要合理分类，有序组合，

从对角线入手不会漏解，条理清楚，而且适用范围广，其本质用代数的方法解决

几何问题，体现的是分类讨论思想、属性结合的思想。

1

【考点三定一动类型】

2

【典例1】（2022•乐业县二模）如图，抛物线y＝ax+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B

（3，0）两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标是2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）在抛物线的对称轴上找一P，使得△PBC的周长最小，并求出P的坐标；

（3）在平面直角坐标系中，是否存在一E，使得以E、A、B、C为顶点的四边形是平

行四边形？若存在，求出E的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式1-1】（2022•宝山区模拟）已知一个二次函数的图象经过A（1，0）、B（3，0）、

C（0，﹣3）三点，顶点为D．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求经过A、D两点的直线的表达式；

（3）设P为直线AD上一点，且以A、P、C、B为顶点的四边形是平行四边形，求P

的坐标．

2

【变式1-2】（2021秋•建昌县期末）如图，抛物线y＝﹣x+bx+c与x轴交于A（1，0），B

（﹣3，0）两点，与y轴交于C，P是抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当P在直线BC上方的抛物线上时，求△PBC的最大面积，并直接写出此时P

坐标；

（3）若M在抛物线的对称轴上，以B，C，P，M为顶点、BC为边的四边形能否是平

行四边形？若能，请直接写出P的坐标；若不能，请说明理由．