2025届高考数学二轮专题复习与测试专题1三角函数的图象与性质.docVIP

板块一三角函数与平面向量

微专题1三角函数的图象与性质

小题考法1三角恒等变换

[核心提炼]

1．和差角公式变形

sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，

cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ，

tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1?tanαtanβ).

2．倍角公式变形

降幂公式：

cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

升幂公式：

cosα＝2cos2eq\f(α,2)－1，cosα＝1－2sin2eq\f(α,2).

配方变形：

1±sinα＝(sineq\f(α,2)±coseq\f(α,2))2.

(1)已知在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α的终边绕原点O逆时针旋转eq\f(π,6)与单位圆交点的纵坐标为eq\f(3,5)，则cos(2α－eq\f(2π,3))＝(A)

A．－eq\f(7,25) B．eq\f(7,25)

C．－eq\f(18,25) D．eq\f(18,25)

【解析】(1)角α的终边绕原点O逆时针旋转eq\f(π,6)后变为α＋eq\f(π,6).由三角函数的定义可知，sin(α＋eq\f(π,6))＝eq\f(3,5)，所以cos(2α－eq\f(2π,3))＝cos[2(α＋eq\f(π,6))－π]＝－cos[2(α＋eq\f(π,6))]＝2sin2(α＋eq\f(π,6))－1＝2×(eq\f(3,5))2－1＝－eq\f(7,25).故选A.

(2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα＋tanβ＝4，tanαtanβ＝eq\r(2)＋1，则sin(α＋β)＝________．

【解析】由题知tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝eq\f(4,1－\r(2)－1)＝－2eq\r(2)，

即sin(α＋β)＝－2eq\r(2)cos(α＋β)，

又sin2(α＋β)＋cos2(α＋β)＝1，

可得sin2(α＋β)＝eq\f(8,9).由2kπ＜α＜2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，2mπ＋π＜β＜2mπ＋eq\f(3π,2)，m∈Z，得2(k＋m)π＋π＜α＋β＜2(k＋m)π＋2π，k＋m∈Z.又tan(α＋β)＜0，所以α＋β是第四象限角，故sin(α＋β)＝－eq\f(2\r(2),3).

【答案】－eq\f(2\r(2),3)

(1)利用诱导公式进行化简求值的步骤

利用诱导公式化任意角的三角函数为锐角三角函数的步骤为去负—脱周—化锐，特别要注意函数名称和符号的确定．

[注意]“奇变偶不变，符号看象限”．

(2)三角函数恒等变换的“四大策略”

①常数值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．

②项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．

③降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．

④弦、切互化：一般是切化弦．

1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α＋β)＝m，tanαtanβ＝2，则cos(α－β)＝(A)

A．－3m B．－eq\f(m,3)

C．eq\f(m,3) D．3m

解析：由cos(α＋β)＝m得cosα·cosβ－sinαsinβ＝m.①由tanαtanβ＝2得eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝2，②

由①②得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(cosαcosβ＝－m，,sinαsinβ＝－2m，))所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3m.

2．(2024·江西二模)已知α，β∈(0，eq\f(π,2))，cos(α－β)＝eq\f(5,6)，tanαtanβ＝eq\f(1,4)，则α＋β＝(A)

A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,4)

C．eq\f(π,6) D．eq\f(2π,3)

解析：因为cos(α－β)＝eq\f(5,6)，tanαtanβ＝eq\f(1,4)，

所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co