2025届高考数学二轮专题复习与测试第二部分思想结论篇1.思想方法.doc

思想方法、二级结论

高考命题是以知识为载体，以能力立意、思想方法为灵魂，以核心素养为统领，兼顾试题的基础性、综合性、应用性和创新性，展现数学的科学价值和人文价值．高考试题一是着眼于知识点新颖巧妙的组合，二是着眼于对数学思想方法、数学能力的考查．如果说数学知识是数学的内容，可用文字和符号来记录和描述，那么数学思想方法则是数学的意识，重在领会与运用，属于思维的范畴，用于对数学问题的认识、处理和解决．高考中常用到的数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等．

一函数与方程思想

函数思想

方程思想

函数思想是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想

方程思想就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，使问题得到解决的思想

函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的，函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求静，研究运动中的等量关系

应用1借助函数关系解决问题

在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解．

如图1，将一张边长为20的正方形纸片ABCD剪去四个全等的等腰三角形：△PEE1，△PFF1，△PGG1，△PHH1，再将剩下的阴影部分折成一个正四棱锥P-EFGH，使点E与点E1重合，点F与点F1重合，点G与点G1重合，点H与点H1重合，点A，B，C，D重合于点O，如图2.则正四棱锥P-EFGH的体积的最大值为(D)

A．eq\f(32\r(10),3) B．eq\f(64\r(10),3)

C．eq\f(128\r(10),3) D．eq\f(256\r(10),3)

【解析】根据题意，PG是侧棱，底面EFGH的对角线的一半是GC，在图1中，作点P到边DC的垂线，

设GC＝x，0x10，则有PG2＝(10－x)2＋102，在图2中，OF＝OG＝x，连接PO，

则四棱锥P-EFGH的高h＝PO＝eq\r(PG2－OG2)＝eq\r(200－20x)，

底面正方形EFGH的面积S＝4×S△OFG＝2x2，

所以四棱锥P-EFGH的体积V＝eq\f(2,3)x2eq\r(200－20x)，

令t＝eq\r(200－20x)，则x＝eq\f(200－t2,20)，0t2200，

则V＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200－t2,20)))eq\s\up12(2)t，V′＝eq\f(1,600)(200－t2)(200－5t2)，

当40t2200时，V′0，V单调递减；

当0t240时，V′0，V单调递增，

所以当t2＝40时，V取最大值，

所以Vmax＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(200－40,20)))eq\s\up12(2)×eq\r(40)＝eq\f(256\r(10),3)，故选D.

本题求体积(面积)的最值时，由于函数式较复杂，采用了换元法进行化简，进而利用导数法求最值，计算较为简便，换元时要注意写出新元的取值范围．此题有意识地凸显其函数关系，进而用函数思想或函数方法研究问题、解决问题，不仅能获得简便的解法，而且能促进科学思维的培养，提高发散思维的水平．

应用2转换函数关系解决问题

在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难解题时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解．

已知函数h(x)＝xlnx与函数g(x)＝kx－1的图象在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有两个不同的交点，则实数k的取值范围是(B)

A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,e)，e－1)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，1＋\f(1,e)))

C．(1，e－1] D．(1，＋∞)

【解析】令h(x)＝g(x)，得xlnx＋1＝kx，即lnx＋eq\f(1,x)＝k.令函数f(x)＝lnx＋eq\f(1,x)，若方程xlnx－kx＋1＝0在区间eq\b\lc\[\r