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1，电磁场中带电粒子的运动方程2，拉格朗日形式3，哈密顿形式4，非相对论情形电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量01在相对论力学中，力学基本方程可写为协变式：02其中，Ku为四维力矢量，Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下，作用于速度为v的物体上的四维力03矢量04所以，在相对论协变的力学方程包括：05上式可改写为：1，电磁场中带电粒子的运动方程在电磁场中，带电粒子受到的洛伦磁力为：所以，洛伦磁力也满足相对论协变要求。综上得，带电粒子在电磁场中的运动方程为：对保守力系来讲：02在理论力学中，拉格朗日的基本形式为：其中为广义动量， 为广义速度，Qa为广义力。012，拉格朗日形式因为势能V中一般并不包含广义速度，所以令L=T-V来代表体系的动能与势能之差。所以得到保守力系下的拉格朗日方程为：在电动力学中，电磁场也是一个保守力场，所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程。电磁场中的带电粒子的运动方程为：（1）其中粒子的机械动量p是：（2）现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程（2）化为拉格朗日形式。（3）（4）把（3）和（4）代入（1）式中，得（5）由于电子运动，在时间dt里有位移dx，所以矢势A有增量因此，作用于粒子上的矢势总变化率为：（6）01动量p和矢势A可以写为02所以拉格朗日量L为：0304则运动方程（7）可以写为拉格朗日形式：0506所以（5）可写为：对L的几点说明：把（8）式乘以自由粒子的状态由速度确定，所以只能由协变量四维速度决定。当粒子在电磁场中运动时，除了之外，还依赖于四维势，则它们可以构成一个不变量，因此，当vc时，带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为（8）得：上式右边是洛伦兹不变量，因此上式左边也是洛伦兹不变量。因此只能是一个洛伦兹不变量，当时，则自有粒子的拉格朗日函数为：3，哈密顿形式对于用拉格朗日量L描述的动力学系统，广义动量定义为（10）则系统的哈密顿量为：（11）用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式：（12）和（13）对于电磁场中的带电粒子运动情形，由（8）式，正则动量P是：即（14）但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为：123引入四维正则动量：4则哈密顿量H与Pu的第四分量联系：567不难验证哈密顿方程（12）和（13）相当于原运动方程（1）8由（11）式，带电粒子的哈密顿量为:
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