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2024-2025学年度上学期期末模拟卷4

高二数学

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.D2.D3.C4.A5.A

6.已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为（）

A.8 B. C.10 D.

【答案】C

【详解】椭圆的方程为，则，，，

连接，，

则由椭圆的中心对称性可知，

可知为平行四边形，则，

可得的周长为，

当AB位于短轴的端点时，AB取最小值，最小值为，所以周长为．

7.已知点，直线，点在直线上，则的最大值为（）

A. B. C. D.2

【详解】

如图，作出点关于直线的对称点，连接延长交直线于点,此时点使取得最大值.

(原因如下：根据点关于直线的对称图形特征，知,此时,

直线上另取点,连接,则,)

不妨设点，则有：解得：即,

故

故选：C.

8.已知圆：，圆：，其中，若两圆外切，则的取值范围为（）

A. B. C. D.

【答案】C

【详解】圆，则，半径r1=1，

圆，则，半径，

因为两圆外切，所以，

即，即，

则点在以1,0为圆心，半径为3的圆上，即在圆上，

令，则k表示过点与点的直线的斜率，

则该直线一定过点，且与圆有公共点，

由题意作图，由图可知该直线斜率一定存(若斜率不存在，则直线与圆相离)，

设该直线方程为，

即为，圆心1,0到直线的距离为d，则，

解得，即的取值范围是.

故选：C.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.

9.已知直线：，：，则（）

A.若，则 B.当时，

C.当时，直线的倾斜角为 D.直线始终过定点

【答案】ABD

10.已知双曲线，点，在上，的中点为，则（）

A.的渐近线方程为 B.的右焦点为

C.与圆没有交点 D.直线的方程为

【答案】CD

对

，

11.设为坐标原点，抛物线：的焦点为，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，的中点为，过作抛物线准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，则（）

A.若，则 B.是的中点

C.不可能是等边三角形 D.面积的最小值为

【答案】BD

【详解】抛物线：的焦点为，准线：，如图：

对于A选项：设点B(x0，y0)，由抛物线定义知，则，

则直线l的斜率，A不正确；

直线l：，由得，设，则，

对于B选项：线段AB中点M，点，线段MD中点E满足抛物线C的方程，即B正确；

对于C选项：由|ME|=|MF|得，解得，即直线l倾斜角为或，从而有，是等边三角形，C不正确；

对于D选项：，点到直线的距离，

则面积，当且仅当时取等号，D正确.

故选：BD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在数列中，，，若，则____________．

故答案为：

13.已知，则向量在上的投影向量的坐标是______．

【答案】

14.点在椭圆上，，是椭圆的两个焦点，，且的三条边，，成等差数列，则此椭圆的离心率是__________.

【答案】##

【详解】设，由椭圆的定义得，

因为的三条边，，成等差数列，

所以，所以，

所以由余弦定理得，

即，

整理得，所以，

所以或者（舍去）.

故答案为：.

四、解答题，本大题共5小题，共77分.解答请写在答题卡上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15.如图所示，已知三角形的三个顶点为，求：

（1）所在直线的方程；

（2）边上的高所在直线的方程；

（3）三角形的面积.

【答案】（1）；

（2）；

（3）

16.已知双曲线的渐近线方程为，实轴长.

（1）求的方程；

（2）若直线过的右焦点与交于，两点，，求直线的方程.

【答案】（1）

（2）或.

【小问2详解】

双曲线C的半焦距，显然直线l不垂直于y轴，

设直线方程为，

联立直线方程和椭圆方程：

，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

所以，

解得.

所以直线的方程为：

.

即或.

17.如图，在直三棱柱中，分别为的中点，点Q在线段上．

（1）当时，证明：B，N，M，Q四点共面；

（2）若平面与平面夹角的余弦值为时，求的长度．

【答案】（1）证明见解析

（2）

【小问1详解】

如图，因三棱柱是直三棱柱，且，故可分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系.

又由分别为的中点，且，则得：

,

于是，,易得：，

因则,

故三向量共面，即B，N，M，Q四点共面