2025年新课标理科数学高频考点与真题解析8.2直线、平面平行的判定与性质(带答案解析).docx

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

解析答案站内有哪些信誉好的足球投注网站同名解析版或带答案

8.2直线、平面平行的判定与性质

五年高考

考点直线、平面平行的判定与性质

1.(2019课标Ⅱ,7,5分,基础性)设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是()

A.α内有无数条直线与β平行

B.α内有两条相交直线与β平行

C.α,β平行于同一条直线

D.α,β垂直于同一平面

答案B

2.(2018课标Ⅰ,12,5分,综合性)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为()

A.3

答案A

3.(2024新高考Ⅱ,20,12分,综合性)如图,PO是三棱锥P-ABC的高,PA=PB,AB⊥AC,E为PB的中点.

(1)证明:OE∥平面PAC;

(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C-AE-B的正弦值.

解析(1)证法一:连接OA,

∵PO是三棱锥P-ABC的高,∴PO⊥平面ABC,

∴PO⊥OA,PO⊥OB,∴∠POA=∠POB=90°,

又PA=PB,PO=PO,∴△POA≌△POB,∴OA=OB,

取AB的中点D,连接OD、DE,则OD⊥AB,

又∵AB⊥AC,∴OD∥AC,

又∵OD?平面PAC,AC?平面PAC,

∴OD∥平面PAC,

又D、E分别为AB、PB的中点,∴DE∥PA,

又∵DE?平面PAC,PA?平面PAC,∴DE∥平面PAC,

又OD、DE?平面ODE,OD∩DE=D,

∴平面ODE∥平面PAC,

又OE?平面ODE,∴OE∥平面PAC.

证法二:连接OA,∵PO是三棱锥P-ABC的高,

∴PO⊥平面ABC,∴PO⊥OA,PO⊥OB,

∴∠POA=∠POB=90°,又PA=PB,PO=PO,

∴△POA≌△POB,∴OA=OB,

延长BO交AC于点F,连接PF,

易知在Rt△ABF中,O为BF的中点,

∵E为PB的中点,∴OE∥PF,

又OE?平面PAC,PF?平面PAC,

∴OE∥平面PAC.

(2)取AB的中点M,连接OM,OA,以M为坐标原点,MB,MO所在直线分别为x,y轴,过点M且与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

∵PO=3,PA=5,∴结合(1)可知OA=OB=4,

又∠ABO=∠CBO=30°,∴OM=2,MB=23,

∴P(0,2,3),B(23,0,0),A(

∵AB⊥AC,∠CBA=60°,AB=43,

∴AC=12,C(-23,12,0).

设平面AEB的法向量为n1=(x1,y1,z1),

AB=(4

∴AB

令y1=3,则z1=-2,∴n1=(0,3,-2).

设平面AEC的法向量为n2=(x2,y2,z2),AC=(0,12,0),

∴AC

令x2=3,则z

∴cosn1,n2=n1

设二面角C-AE-B的平面角为θ,则sinθ=1-

4.(2024江苏,15,14分,综合性)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,B1C⊥平面ABC,E,F分别是AC,B1C的中点.

(1)求证:EF∥平面AB1C1;

(2)求证:平面AB1C⊥平面ABB1.

证明(1)因为E,F分别是AC,B1C的中点,

所以EF∥AB1,又EF?平面AB1C1,AB1?平面AB1C1,

所以EF∥平面AB1C1.

(2)因为B1C⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以B1C⊥AB.

又AB⊥AC,B1C?平面AB1C,AC?平面AB1C,B1C∩AC=C,所以AB⊥平面AB1C,

又因为AB?平面ABB1,所以平面AB1C⊥平面ABB1.

5.(2019课标Ⅰ,18,12分,综合性)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.

(1)证明:MN∥平面C1DE;

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

解析(1)证明:连接B1C,ME.

因为M,E分别为BB1,BC的中点,

所以ME∥B1C,且ME=12B1

又因为N为A1D的中点,

所以ND=12A1

由题设知A1B1??DC,

所以四边形A1B1CD是平行四边形,

所以B1C??A1D,

故ME??ND,

因此四边形MNDE为平行四边形,

则MN∥ED.又MN?平面EDC1,

所以MN∥平面C1DE.

(2)由已知可得DE⊥DA.以D为坐标原点,DA的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,

则A(2,0,0),A1(2,0,4),M(1,3,2),N(1,0,2),

则A1

设m=(x,y,z)为平面A1MA的法向量,则m

所以-x

设n=(p,q,r)为平面A1MN的法向量,则n

所以-3

于是cosm,n=m·

所以二面角A