相交线与平行线——平行线几何模型-平行线间拐角模型精讲++2023—2024学年人教版数学七年级下册.docx

平行线与拐角模型

名称

“M”模型

“铅笔头”模型

图示

结论

∠B+∠C=∠BOC

∠B+∠C+∠BOC=360°

名称

“锯齿”模型

“骨折”模型

图示

结论

∠B+∠F=∠C+∠E

∠D=∠B+∠E

名称

“靴子”模型

“蛇”模型

图示

结论

∠B=∠D+∠E

∠A+∠B-∠C=180°

注意：遇到“平行线+拐点”，作“平行线”或“延长线段”，利用“平行线性质”及“三角形外角和”可证

例题1

如图，AB//CD，点E，F分别在AB，CD上，G为平行线间一点，连接EG，FG.若∠BEG=150°，∠GFD=140°，则∠EGF=（）

A.80°

B.75°

C.70°

D.65°

例题2

如图，在正方形ABCD的边BC上取一点E，沿着EF，EG剪去两个直角三角形.已知∠AFE=125°，∠FEG=100°，则∠DGE的度数为（）

A.135°

B.125°

C.115°

D.105°

例题3

将直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1=55°，则∠2=______.

例题4

如图，AB//CD，EG是∠AEH的平分线，FH是∠CFG的平分线，若∠G+45°=2∠H，则∠AEH的度数为______.

例题5

如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD,BC上的点，将矩形沿EF折叠，点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，A′B′交BC于点G，若∠FEA′=70°，则∠A′GF的度数为（）

A.100°

B.110°

C.120°

D.130°

例题6

如图，是常见的折叠式小刀，刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成图中所示的∠1与∠2，则∠1+∠2的度数为________.

例题7

如图，AG//EF，点B，C，D在平行线内部，连接AB，BC，CD，DE，若∠A+∠B+∠D=180°，则2∠A+∠C+∠E的度数为________.

例题8

如图，直线m//n，点P在射线OM上运动（点P与点A，B，O三点都不重合），若∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，则∠CPD，∠α，∠β间有何数量关系？

例题9

已知，AB//CD，CF平分∠ECD.

（1）如图1，若∠DCF=25°，∠E=20°，求∠ABE的度数

（2）如图2，若∠EBF=2∠ABF，∠CFB的2倍与∠CEB的补角的和为190°，求∠ABE的度数

图1

图2

例题10

（2019吉林长春）如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°，过线段AB上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为_____度.

答案解析

例题1

考点：“M”模型或“铅笔”模型

答案：C

例题2

考点：“铅笔”模型

答案：A

例题3

考点：“M”模型

答案：35°

例题4

考点：“M”模型

答案：30°

例题5

考点：“铅笔”模型

答案：D

例题6

考点：“M”模型

答案：90°

例题7

考点：“锯齿”模型

答案：180°

例题8

考点：“M”模型和“骨折”模型

注意：分类讨论

答案：

（1）当点P在A，B两点之间运动时，∠CPD=∠α+∠β（“M”模型）

（2）当点P在线段OB上时，∠CPD=∠α-∠β

证明：∵m//n∴∠α=∠BEP

∵∠BEP=∠CPD+∠β

∴∠α=∠CPD+∠β

即∠CPD=∠α-∠β

（3）当点P在射线AM上时，∠CPD=∠β-∠α

证明：∵m//n∴∠β=∠PEA

∵∠PEA=∠CPD+∠α

∴∠β=∠CPD+∠α

即∠CPD=∠β-∠α

例题9

考点：“骨折”模型

答案：

（1）∠ABE=2∠DCF-∠E=30°

（2）由题意得，2∠CFB+(180°-∠CEB)=190°

即2∠CFB-∠CEB=10°

∵CF平分∠ECD∴∠ECD=2∠DCF=2∠FCE

∵∠EBF=2∠ABF∴∠ABE=3∠ABF

∵∠DCF=∠CFB+∠ABF（“骨折”模型）

∠DCE=∠CEB+∠ABE=∠CEB+3∠ABF

∴∠CEB+3∠ABF=2(∠CFB+∠ABF)

即∠ABF=2∠CFB-∠CEB=10°

∴∠ABE=3∠ABF=30°

图1

图2

例题10

考点：“M”模型

答案：57

证明

过点O作OE//AB

∵AB//CD∴OE//CD

∴∠BOE=∠B∠EOC=∠C

∴∠BOE+∠EOC=∠B+∠C

即∠BOC=∠B+∠C