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线性代数期末复习

班级学号姓名成绩

一、填空题（共24分,每小题3分）

1.设三阶方阵满足，，则

2.已知矩阵，则

3．设向量组线性有关，则

应满足条件

4.设，则的特征值是

5.设二次型为正定二次型，则应满足条件

6.若向量与是三阶实对称矩阵属于不同特征值的特征向量，则

7.设矩阵和相似，则

8．已知矩阵,且,则矩阵的秩

二、选择题（共15分,每小题3分）

1.若，则（）

(A)(B)2(C)（D）

2.设，都是阶方阵，则下列运算正确的是（）

（A）（B）

（C）（D）若可逆，则

3.已知三维向量组，则下列说法正确的是（）

(A)(B)可以有线性表示

(C)向量组线性相关（D)向量组线性无关

4.设矩阵的秩为，则中（）

（A）至少有一个阶子式不等于0

（B）所有阶子式全为0

(C)所有阶子式都不为0

（D）所有阶子式都不为0

5.下列说法不正确的是（）

（A）如果向量组线性无关，则向量组也线性无关

（B）含有零向量的向量组一定线性相关

（C）属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量正交

（D）等价向量组的秩相同

三、计算题（共40分,其中第1、2、3题每题9分，第4题13分）

1.计算行列式

利用初等变换解矩阵方程,其中,.

求向量组

的秩及其一个最大无关组，并将剩余向量用该最大无关组线性表示.

已知矩阵

求的特征值与特征向量；

问矩阵能否对角化.若不能，说明理由.若能，写出相应的可逆矩阵和对角阵,使得.

四、综合题（共21分，其中第1题14分，第2题7分）

1．试判断当a,b取何值时，线性方程组

无解；（2）有唯一解；（3）有无穷多组解？并求出其通解.

2.（7分）大某药厂生产3种中成药，每件中成药的生产要经过3个车间加工.其中3个车间每周的工时、每件中成药在各个车间需要的工时数如下表所示，

中成药1

中成药2

中成药3

车间工时（时/周）

车间1

1

1

2

40

车间2

3

2

3

75

车间3

1

1

1

28

据此问题建立一个线性方程组，并把线性方程组用矩阵形式表示；

无需求解，证明3种中成药每周的产量是唯一的.