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河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期12月第二次联考数学试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1．已知，，，若，，共面，则实数的值为()

A. B. C.2 D.3

2．设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为()

A. B. C. D.

3．学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有()

A.12种 B.14种 C.7种 D.9种

4．如图，在四面体OABC中，，，，点M为线段OA上靠近点A的三等分点，N为BC的中点，则()

A. B.

C. D.

5．已知三棱锥中，平面，，且，D，E分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()

A. B. C. D.

6．已知椭圆，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过C的右焦点，则C的离心率为()

A. B. C. D.

7．已知，，若圆上存在点P满足，则a的取值范围是()

A. B. C. D.

8．正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有()

A.直线与是异面直线

B.平面平面

C.该几何体的体积为

D.平面与平面间的距离为

二、多项选择题

9．以下命题正确的是()

A.直线与直线垂直的充要条件是

B.已知圆，过点的直线与圆C交于P，Q两点，则的最小值为4

C.方程表示椭圆的充要条件是

D.直线和以、为端点的线段相交，则k的取值范围是

10．已知直线，双曲线.以下说法正确的是()

A.当时，直线l与双曲线只有一个公共点

B.直线l与双曲线只有一个公共点时，或

C.当或时，直线l与双曲线没有公共点

D.当时，直线l与双曲线有两个公共点

11．正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为()

A. B. C.2 D.

三、填空题

12．已知直线，圆，若圆C上至少存在两点到直线l的距离等于，则实数k的取值范围是___________.

13．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中，平面，，，点P在棱上运动则面积的最小值为___________.

14．已知正方体的棱长为2，M为棱的中点，平面过点B，，则平面截正方体所得截面的周长为___________.

四、解答题

15．已知函数的图像与直线l均过定点A.

(1)若直线l在x，y轴上的截距相等，求直线的方程；

(2)若点P是圆上的动点，点Q满足，求的最大值

16．已知圆.

(1)若直线平分圆M，求的最小值；

(2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线C的准线与圆M相切，F为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值

17．在图1的直角梯形ABCD中，，，，点E是DC边上靠近于点D的三等分点，AC交BE于点F，以BE为折痕将折起，使点C到达的位置，且，如图2.

(1)求四棱锥的体积V；

(2)求与平面所成角的正弦值

18．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点

(1)求证：平面POC；

(2)若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值

19．焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”.

(1)如果椭圆是等差椭圆，求的值；

(2)对于焦距为6的等差椭圆T，点A，B分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于P，Q两点，（P，Q异于A，B），设直线AP，BQ的斜率分别为，，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由

参考答案

1．答案：C

解析：由题设且x，，

则，

所以，

可得.

故选：C

2．答案：B

解析：由在方向上的投影向量为，

得，则，

所以在方向上的投影数量为.

故选：B

3．答案：B

解析：当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法

当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，

再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，

此时有种方法，

共有种，

故选：B

4．答案：C

解析：由图知

故选：C

5．答案：D

解析：取AC的中点H，SC的中点F，

连接DH，EH，EF，DF，如图所示：

在中，因为D，F分别为SA，SC的中点，

故，

故或其补角即为所求角，

设，

在中，，

又有，

由平面，平面，

可得，则，，

由于，可得平面ABC，

又面ABC，则，

可得，

所以.

故选：D.

6．答案：A

解析：设过点且方向向量为的光线，

交直线的点为B，右焦点