优控制中的变分法.pptVIP

泛函的变分01设泛函J[y(x)]为连续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分：记为：δJ。可以证明，泛函的变分是唯一的。如何求解泛函的变分？借鉴函数f(x)微分的求解：02与（1-5）类似，可得出泛函J[y(x)]的求解：03例：求下列泛函的变分泛函的极值01泛函极值的定义：对于与y0(x)接近的曲线y(x)，泛函J[y(x)]的增量02则泛函J[y(x)]在曲线y0(x)上达到极值。03泛函极值定理：若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则在y=y0(x)上的变分为零。即04根据函数极值的条件，函数φ(ε)在ε=0时达到极值的必要条件为：1比较（1-9）和（1-10），可见：2证明如下：对于端点固定的情况，容许轨线x(t)应满足下列边界条件：了解泛函极值的概念后，再来研究最速降线问题。其目标函数为：问题为：确定一个函数x(t)，使J[x(t)]达到极小（大）值。这条能使泛函J[x(t)]达到极值的曲线称为极值曲线（轨线），记作：x*(t)不失一般性，可写为：对（1-13）求取泛函极值的思路：求取泛函的变分（通过泰勒展开，求取泛函增量的线性主部，）1．端点固定的情况1.2无约束条件的最优化问题容许轨线是由极值曲线微小摄动而成，即将（1-15）式代入（1-13）对式（1-21）中被积函数第二项分部积分(消去）根据泛函极值的必要条件，可得欧拉方程欧拉方程的展开形式：欧拉方程的特殊形式（L不显含t时)再来回顾最速降线问题，其指标函数为：代入（1-28）式：整理、简化后可得若用参数法求解，令，可得这是圆滚线的参数方程。关于欧拉方程的几点说明：欧拉方程是泛函极值的必要条件，是否充分还需进一步判断。（参见p56“泛函极值的充分条件——勒盖特条件）欧拉方程是二阶微分方程，只有在个别情况下才能得到封闭形式的解。（如最速降线问题）2．端点变动的情况（例如，拦截问题）始点x0在曲线x=φ(x)上变动终点xf在曲线x=ψ(x)上变动横截条件端点变动时泛函极值的必要条件：（推导过程略）欧拉方程x21012t例：确定点A(0,1)至给定直线的最短的曲线方程。解：由A至的弧长性能指标为由欧拉方程：积分得，再积分，得通解根据始端条件：根据终端横截条件，得最优轨线方程：1.3具有等式约束条件的最优化问题目标泛函为：在最优控制问题中，泛函J[x(t)]所依赖的函数往往会受到—定约束条件的限制。在动态最优化问题中，由于受控系统的数学模型往往用微分方程来描述，所以等式约束就是系统的状态方程。解决具有等式约束条件的最优化问题的基本思路，就是应用拉格朗日乘子法，将有约束条件的泛函极值问题转化为无约束条件的泛函极值问题。1.微分约束求最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，其目标函数J取极值。（两点边值问题）问题：已知受控系统状态方程为这里，为了将有约束条件的泛函极值问题转化为无约束条件的泛函极值问题，可应用拉格朗日乘子法。为此，引入待定的n维拉格朗日乘子向量λ(t)，即构造一个新的辅助泛函：定义哈密尔顿(Hamilton)函数H：（将分离出去）代入（1-36）式多元辅助泛函J’的欧拉方程为：协态方程状态方程控制方程正则方程组根据上述三个方程，加上边界条件，可得最优控制问题的唯一确定解思考：，给定，自由时的情况。2.端点等式约束（等式约束的更一般形式)问题：已知受控系统状态方程为目标泛函为：求最优控制u*(t)，使系统从初始状态x(t0)转移到终端状态x(tf)，其目标函数J取极值。根据一个微分约束，一个端点约束，共需引入2个拉格朗日乘子向量，构成新的辅助目标泛函：第1章最优控制中的变分法第1章最优控制中的变分法目录 页码系统概述........................................................................................................................................ 1目标.......................