2024-2025学年北京市朝阳区高三上学期期末质量检测数学试卷含详解.docx

北京市朝阳区2024～2025学年度第一学期期末质量检测

高三数学试卷

2025.1

（考试时间120分钟满分150分）

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分（选择题共40分）

一,选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.

1．已知全集,集合,则（????）

A． B．

C． D．

2．在复平面内,复数对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．已知抛物线．若其焦点到准线的距离为4,则抛物线的焦点坐标为（????）

A． B． C． D．

4．函数的图象的一个对称中心是（????）

A． B． C． D．

5．“”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知圆,过点的直线与圆交于两点．当取最小值时,直线的方程为（????）

A． B． C． D．

7．沙漏是一种古代计时仪器．如图,某沙漏由上下两个相同圆锥组成,圆锥的底面直径和高均为6cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的,则这些细沙的体积为（????）

A． B． C． D．

8．若函数,恰有两个零点,则实数的取值范围是（????）

A． B． C． D．

9．“三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法,现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准,第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的,第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的,第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的,第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短,发出的声音音调越高,这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫,商,角,徵,羽“,则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（????）

A． B． C． D．

10．设是无穷数列,若存在正整数使得对任意,均有,则称是间隔递减数列,其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：

①若,则是间隔递减数列.

②若,则是间隔递减数列.

③若,则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是．

其中所有正确结论的序号是（????）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

第二部分（非选择题共110分）

二,填空题共5小题,每小题5分,共25分.

11．在的展开式中,的系数为．（用数字作答）

12．双曲线的渐近线方程是,设是双曲线的两个焦点,点在双曲线上,且,则．

13．使不等式成立的一个的值是．

14．已知为所在平面内一点,满足,且,,设为向量的夹角,则,．

15．在棱长为1的正方体中,点在线段上（不与重合）,于于,以下四个结论：

①平面.

②线段与线段的长度之和为定值.

③面积的最大值为.

④线段长度的最小值为．

其中所有正确的结论的序号是．

三,解答题共6小题,共85分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.

16．在中,．

(1)求.

(2)若,再从条件①,条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知,使存在,求的面积．

条件①：,条件②：,条件③：

注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分,如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

17．随着科技的飞速发展,人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域,AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况,现从某地区随机抽取了200名教师,对使用A,B,C,D四种AI大模型的情况统计如下：

使用AI大模型的种数性别

0

1

2

3

4

男

4

27

23

16

10

女

6

48

27

24

15

在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中,统计使用A,B,C,D的AI大模型人次如下：

AI大模型种类

A

B

C

D

人次

32

30

30

28

用频率估计概率.

(1)从该地区教师中随机选取一人,估计至少使用两种AI大模型（A,B,C,D中）的概率.

(2)从该地区使用3种AI大模型（A,B,C,D中）的教师中,随机选出3人,记使用B的有人,求的分布列及其数学期望.

(3)从该地区男,女教师中各随机选一人,记他们使用AI大模型（A,B,C,D中）的种数分别为,比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）

18．如图,在五面体中,平面,,,,,,分别为的中点,连接．

(1)求证：平面.

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

(3)线段上是否存在点,使得平面？若存在,求的值,若不存在,说明理由．

19．已知函数,其中是常数,．

(1)当时,求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程

(2)求的极值．

20．已知椭圆的离心率为,右顶点为．

(1)求椭圆的方程.

(2)过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点,直线与椭圆的另一个