高中数学同步精品讲义：复数的加法与减法.docxVIP

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复数的加法与减法

TOC\o1-3\h\u题型1复数的加减运算 3

◆类型1直接进行加减运算 3

◆类型2需要设复数的标准形式 5

题型2复数加减的几何意义 7

◆类型1复数加减法的几何意义 8

◆类型2模长问题 11

◆类型3与三角形相关问题 14

题型3复数的加减运算求参数 16

◆类型1参数取值问题 16

◆类型2取值范围问题 18

知识点一.复数的加法

1．加法法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.

即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数．

注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形，即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.

2．加法运算律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C，有

=1\*GB3①交换律：z1＋z2＝z2＋z1，=2\*GB3②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．

知识点二.复数的减法

1．相反数

已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义，存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数．

2．减法运算法则

规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，

则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.

即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数．

知识点三.复数加法与减法的几何意义

1.复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))＝(x1，y1)，eq\o(OZ2,\s\up15(→))＝(x2，y2)，如图1，且eq\o(OZ1,\s\up15(→))和eq\o(OZ2,\s\up15(→))不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))，而eq\o(OZ1,\s\up15(→))＋eq\o(OZ2,\s\up15(→))所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．

2.复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1－z2与向量eq\o(OZ1,\s\up15(→))－eq\o(OZ2,\s\up15(→))(等于eq\o(Z2Z1,\s\up15(→)))对应，

这就是复数减法的几何意义．

注意：

1.根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的

复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．

2．求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．

3．在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．

拓展由复数加减运算的几何意义可得出：

||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.

题型1复数的加减运算

【方法总结】复数的加、减法运算

（1）复数的加、减运算类似于合并同类项，实部与实部合并，虚部与虚部合并，注意符号是易错点；

（2）复数的加、减运算结果仍是复数；

（3）对应复数的加法（或减法）可以推广到多个复数相加（或相减）的混合运算；

（4）实数的加法交换律和结合律在复数集中仍适用.

◆类型1直接进行加减运算

【例题1-1】2023·全国·高一专题练习）已知i为虚数单位，计算下列各式．

(1)(1+2i)+(7?11i)?(5+6i)；

(2)5i?[(6+8i)?(?1+3i)]；

(3)23

(4)(a

【答案】(1)3?15i；

(2)?7；

(3)76

(4)?a

【分析】根据复数的运算法则运算即得.

【详解】（1）(1+2i)+(7?11i)?(5+6i)=(1+7?5)+(2?11?6)i=3?15i；

（2）5i?[(6+8i)?(?1+3i)]=5i?(7+5i)=?7；

（3）23

（4）(a

【变式1-1】1．（2023·全国·高一专题练习）已知复数z1=3?4i，z2

【答案】1?i##?i+1

【分析】利用复数的加法运算即可