高中数学同步精品讲义：平面的基本事实与推论.docxVIP

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平面的基本事实与推论

TOC\o1-3\h\u题型1平面的基本性质及辨析 2

题型2空间位置的画法 7

题型3平面分空间区域的数量 13

题型4点线共面问题 17

◆类型1四点共面 17

◆类型2多线共面 27

题型5三线共点 30

题型6三点共线 34

题型7截面问题 41

题型8计算相关问题 49

知识点.平面的基本事实与推论

1.平面的基本事实

基本事实

（公理）

内容

图形

符号

作用

基本事实1

过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面

A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α

确定平面；判定点线共面

基本事实2

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内

A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α

确定直线在平面内；判定点在平面内

事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β?α∩β＝l且P∈l

判定两平面相交；判定点在直线上

2.平面基本事实的推论

利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，可以得到下面三个推论：

推论

文字语言

图形语言

符号语言

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个_平面____

A?l?有且只有一个平面α，使A∈α，l?α

推论2

经过____两条相交直线_____，有且只有一个平面

a∩b＝P?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

推论3

经过____两条平行直线_____，有且只有一个平面

a∥b?有且只有一个平面α，使a?α，b?α

题型1平面的基本性质及辨析

【方法总结】

1.确定平面的条件：

（1）不共线三点；（2）直线与直线外一点；(3)两条相交直线；（4）两条平行直线.

2.点、线、面位置关系判定：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

【例题1】（2022春·安徽芜湖·高一校考期中）下列说法正确的是（????）

A．三点可以确定一个平面

B．一条直线和一个点可以确定一个平面

C．四边形是平面图形

D．两条相交直线可以确定一个平面

【答案】D

【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可.

【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误；

对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误；

对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误；

对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确.

故选：D.

【变式1-1】1．（2023·高一课时练习）下列命题中，正确命题的个数是（????）

①四边相等的四边形为菱形；

②若四边形有两个对角都为直角，则这个四边形是圆内接四边形；

③“平面不经过直线”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；

④若两个平面有一条公共直线，则这两平面的所有公共点都在这条公共直线上．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据空间四边形可判断①②错误，有平面的基本性质可判断③④正确.

【详解】由空间四边形可判断①②错误.

“平面不经过直线”即直线与平面相交或者平行，所以③正确.

由平面的基本性质，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,可判断④正确.

故选：B

【变式1-1】2．（2023春·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（????）

A．空间中的三点确定一个平面 B．直线和直线外一点确定一个平面

C．两条相交直线确定一个平面 D．两条平行直线确定一个平面

【答案】A

【分析】根据公理2和公理2的三个推论即可判断求解.

【详解】对于A，由公理2可知：过不在同一直线上的三点有且只有一个平面，故A错误；

对于B，由公理2的推论可知：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面，故选项B正确；

对于C，由公理2的推论可知：经过两条相交直线有且只有一个平面，故选项C正确；

对于D，由公理2的推论可知：经过两条平行直线有且只有一个平面，故选项D正确，

综上可知：说法错误的是A.

故选：A.

【变式1-1】3．（2023春·全国·高一专题练习）已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理中错误的是（????）

A．A∈a，A∈β，B

B．M∈α，M∈β，N∈α

C．A∈α，A

D．A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线，则

【答案】C

【分析】利用基本事实2可判断AB选项；利用基本事实3可判断C选项；利用基本事实1可判断D选项.

【详解】对于A选项，A∈a，A∈β，B∈

对于B选项，M∈α，N∈α，则直线

对于C选项，A∈α，A∈β，则A为平面

但平面α、β相交于过点A的一条直