高中数学同步精品讲义：随机事件的独立性.docxVIP

PAGE

PAGE1

随机事件的独立性

TOC\o1-3\h\z\u题型1相互独立事件的判断 2

题型2相互独立事件的概率 7

题型3相互独立事件的综合应用 9

知识点一相互独立的含义

1.定义：一般地，当P（AB）=P（A）P（B）时，就称事件A与B相互独立（简称独立）.事件A与B相互独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率，事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率.

注意：因为“A与B相互独立”是“P（AB）=P（A）P（B）”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立.

知识点二相互独立事件性质及计算公式

当事件A，B相互独立时，A与B，A与B，A与B也相互独立.

若事件A，B相互独立，则P（AB）=P（A）×P（B）；

若事件A1，A2，…，An相互独立，则P（A1A2…An）=P（A1）×P（A2）×…×P（An）.

相互独立事件与互斥事件的区别:

①相互独立事件指一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响，互斥事件是指不可能同时发生的两个事件。

②若两个事件相互独立，则一定不能互斥；反之，若两个事件互斥，则一定不能相互独立。

③两个事件相互独立等价于P（AB）=P（A）P（B），而当两个事件互斥时，有P（A+B）=P（A）+P（B），但由P(A+B）=P（A）+P（B）却不能得到两事件A与B互斥。

题型1相互独立事件的判断

【方法总结】两个事件是否相互独立的判断

（1）直接法∶由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.

（2）定义法∶如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件.

注意：互斥事件与相互独立事件的区别

互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念，前者表示不可能同时发生的两个事件，后者是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.

相互独立的事件可以同时发生，且同时发生的概率P（AB）=P（A）P（B），而互斥的两个事件A，B满足P（A+B）=P（A）+P（B）.两事件A，B相互独立是指事件A发生的概率与事件B是否发生没有关系，并不是说A，B间没有关系．相反，若A，B独立，则常有AB≠?，即A与B不互斥；A，B互斥是指A的出现必导致B的不出现，并没有说A出现的概率与B是否出现有关系．事实上，当P（A）0，P（B）0时，若A，B互斥，则AB≠?，从而P（AB）=0，但P（A）P（B）0，因而等式P（AB）=P（A）P（B）不成立，即互斥未必独立.若A，B独立，则P（AB）=P（A）P（B）0，从而A，B不互斥（否则，P（AB）=0，导致矛盾）.

【例题1】（2023上·辽宁锦州·高一统考期末）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则下列对事件A,B的表述正确的是（????）

A．A与B互为对立事件 B．A与B互斥

C．A与B相互独立 D．P

【答案】C

【分析】列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可.

【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），

事件A包含的结果有：（正，正），（正，反），

事件B包含的结果有：（正，反），（反，反），事件AB包含的结果有：（正，反），

所以A与B不互斥，且不对立，故A、B错误；

又PA=12,PB=

故选：C.

【变式1-1】1．（2022下·广东梅州·高一统考期末）同时抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，用x表示红色骰子的点数，y表示绿色骰子的点数，设事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，事件C=“x3”，则下列结论正确的是（????）

A．A与B对立 B．P

C．A与C相互独立 D．B与C相互独立

【答案】C

【分析】对于A：根据对立事件概念分析判断；对于B：事件的运算结合古典概型运算求解；对于CD：根据古典概型结合独立事件的概念分析判断.

【详解】由题意可知：x,y∈1,2,3,4,5,6

对于选项A：事件A=“x+y=7”，事件B=“xy为奇数”，

例如x=y=2，则x+y=4≠7，xy=4不为奇数，

即A事件和B事件可以同时不发生，所以A事件与B事件不对立，故A错误；

对于选项B：样本空间共36个样本点，

且A=1,6,2,5,3,4

B=1,1,1,3,1,5

C=x,y|x∈4,5,6,y∈1,2,3,4,5,6

则B∩C=5,1,5,3

对于选项C：因为PBPC=1

对于选项D：因为A∩C=4,3,5,2

且PA