高中数学同步精品讲义：向量基本定理、直线上向量的坐标及其运算.docxVIP

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向量基本定理、直线上向量的坐标及其运算

TOC\o1-3\h\z\u题型1基底的概念及辨析 2

题型2用基底表示向量 5

◆类型1利用向量的线性运算转化 5

◆类型2列方程（组） 9

题型3利用平面向量的基本定理求参数 14

题型4直线上的坐标及运算 18

知识点一.平面向量基本定理

平面向量基本定理：

条件

e1，e2是同一平面内两个不共线的向量

结论

对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2

基底

若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底

2．对基底的理解

(1)基底的两个主要特征

①基底是两个不共线向量；

②基底的选择是不唯一的．

平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一个基底的条件．

(2)零向量与任意向量共线，故不能作为基底．

3．准确理解平面向量基本定理

(1)平面向量基本定理的实质是向量的分解，即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的形式，且分解是唯一的．

(2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底化归，使问题得以解决．

4．平面向量基本定理的应用

(1)平面向量基本定理唯一性的应用：设a，b是同一平面内的两个不共线向量，若x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y2.))

(2)重要结论设{e1，e2}是平面内一个基底

a=λ1e1+λ2e2

λ2=0时，a与e1共线

λ1=0时，a与e2共线

λ1=λ2=0时，a=0

知识点二.直线上向量的坐标及运算

1.直线上向量的坐标

=1\*GB3①给定一条直线l及这条直线上一个单位向量e，对于这条直线上的任意一个向量a，一定存在唯一的实数×，使得a=xe，此时,x称为向量a的坐标；

=2\*GB3②在直线l上指定原点0，以e的方向为正方向，如果把向量的始点平移到原点0，那么a的终点对应的数就是向量a的坐标。

2.直线上向量的运算及坐标关系

如果直线上的两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，

a=b的充要条件是x1=x2；

a+b的坐标为x1+x2;

设A（x1），B（x2）是数轴上的两点，M（x）是线段AB的中点，则AB=|x1-x2|,x=x

题型1基底的概念及辨析

【例题1】（2023下·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设e1

A．e2和e1+e2

C．2e1?4e2和?

【答案】C

【分析】只要两个向量不共线，便可作为平面内的一组基底，从而判断哪组向量共线即可.

【详解】对于A，令e2=me1+e2，则m=0

对于B，令e1=ne1?e2，则?n=0

对于C，∵2e

∴2e1?4

对于D，令e1+2e2=t2e1+

故选：C.

【变式1-1】1．（2023下·山西·高一校联考阶段练习）如果e1

A．e2、e1?2e2

C．e1?3e2、6e

【答案】C

【分析】利用平面向量基底的定义逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】对于A选项，设e1

因为e1、e2不共线，则

对于B选项，设e1

因为e1、e2不共线，则

对于C选项，因为6e

对于D选项，设e1

因为e1、e2不共线，则

故选：C.

【变式1-1】2．（2023下·高一课时练习）已知向量e1，e

A．e1+e2和e1

C．2e1?e2和e

【答案】B

【分析】判断两向量是否为非零的不共线向量，若是可作为基底，若不是则不可以作为一组基底.

【详解】A选项，设e1+e2=ae1

B选项，∵4e

∴4e1?2

C选项，设2e1?e2=be

D选项，设e1?e2=c2e

故选：B

【变式1-1】3.（2023下·山东·高一统考期中）设e1，e

A．e1+e2和e1

C．e1+2e2和2e

【答案】B

【分析】如果两个向量共线便不能作为基底，从而找到共线向量的一组即可，可根据共线向量的基本定理进行判断.

【详解】不共线的向量可以作为基底，所以不能作为基底的便是共线向量，显然选项B中，4e1?6e2

故选:B.

【变式1-1】4.（多选）（2023下·安徽阜阳·高一校考阶段练习）设e1,e

A．a

B．a

C．a

D．a

【答案】ABD

【分析】根据基底的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】a不能用b表示，故a,

a不能用b表示，所以a,

a=?b，故

a不能用b表示，故a,

故选：ABD.

题型2用基底表示向量

【方法总结】

将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：

=1\*GB3①是运用