高中数学同步学案 反 证 法.docVIP

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2．2.2反证法

eq\a\vs4\al([对应学生用书P24])

著名的“道旁苦李”的故事：王戎小时候,爱和小朋友在路上玩耍．一天,他们发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘李子,独有王戎没动．等到小朋友摘了李子一尝,原来是苦的．他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这棵树上却结满了李子,所以李子一定是苦的．”

问题1：王戎的论述运用了什么推理思想？

提示：实质运用了反证法的思想．

问题2：反证法解题的实质是什么？

提示：否定结论,导出矛盾,从而证明原结论正确．

1．反证法

一般地,由证明p?q转向证明：綈q?r?…?t,t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾．从而判定綈q为假,推出q为真的方法,叫做反证法．

2．应用反证法证明数学命题的一般步骤

(1)分清命题的条件和结论；

(2)做出与命题结论相矛盾的假设；

(3)由假设出发,应用演绎推理方法,推出矛盾的结果；

(4)断定产生矛盾结果的原因,在于开始所做的假定不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真．

1．反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论,完成命题的论证的一种数学证明方法．

2．反证法常见的矛盾类型

(1)与假设矛盾；

(2)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论矛盾；

(3)与公认的简单事实矛盾．

eq\a\vs4\al([对应学生用书P25])

用反证法证明否(肯)定式命题

[例1]设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中,a,b,c均为整数,且f(0),f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．

[思路点拨]此题为否定形式的命题,直接证明很困难,可选用反证法,证题的关键是根据f(0),f(1)均为奇数,分析出a,b,c的奇偶情况,并应用之．

[精解详析]假设f(x)＝0有整数根n,则an2＋bn＋c＝0(n∈Z),而f(0),f(1)均为奇数,即c为奇数,a＋b为偶数,则an2＋bn＝－c为奇数,即n(an＋b)为奇数．

∴n,an＋b均为奇数,

又a＋b为偶数,

∴an－a为奇数,即a(n－1)为奇数,

∴n－1为奇数,这与n为奇数矛盾．

∴f(x)＝0无整数根．

[一点通]

(1)对某些结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明,从正面突破较困难时,可用反证法．通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题,然后用转化后的命题作为条件进行推理,推出矛盾,从而达到证题的目的．

(2)常见否定词语的否定形式如下表所示：

否定词语

否定词语的否定形式

没有

有

不大于

大于

不等于

等于

不存在

存在

1．用反证法证明,若ab0,那么eq\r(a)eq\r(b).

证明：假设eq\r(a)不大于eq\r(b),则eq\r(a)≤eq\r(b).

∵a0,b0,

∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(a)))2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(b)))2,即a≤b.

这与已知条件ab0矛盾,所以eq\r(a)eq\r(b).

2．已知正整数a,b,c满足a2＋b2＝c2.求证a,b,c不可能都是奇数．

证明：假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2都是奇数．

左边＝奇数＋奇数＝偶数,右边＝奇数,

得偶数＝奇数,矛盾．

∴假设不成立,∴a,b,c不可能都是奇数.

用反证法证明唯一性命题

[例2]求证：两条相交直线有且只有一个交点．

[思路点拨]

[精解详析]设两直线为a、b,假设结论不成立,即有两种可能：无交点；不只有一个交点．

(1)若直线a,b无交点,那么a∥b或a,b是异面直线,与已知矛盾；

(2)若直线a,b不只有一个交点,则至少有两个交点设为A和B,这样同时经过点A,B就有两条直线,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．

所以假设不成立,两条相交直线有且只有一个交点．

[一点通]证明“有且只有一个”的问题,需要证明两个命题,即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时,由于反设结论易于导出矛盾,所以用反证法证其唯一性就较简单明了．

3．已知a≠0,证明：关于x的方程ax＝b有且只有一个根．

证明：因为a≠0,所以方程至少有一个根x＝eq\f(b,a).

假设方程不是一个根,那么不妨设x1、x2是它的两个不同根,即ax1＝b,①

ax2＝b,②

①－②得a(x1－x2)＝0.

∵x1≠x2,∴x1－x2≠0,∴应有a＝0,这与已知相矛盾．

故假设不成立,

∴当a≠0时,方程ax＝b有且只有一个根．

4．已知a与b是异面直线,求证：过a且平行于b的平面只有一个．

证明：①存在性,在a上任取一