高中数学同步学案 复数代数形式的乘除运算 (2).docVIP

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3．2.2复数代数形式的乘除运算

预习课本P58～60,思考并完成下列问题

(1)复数乘法、除法的运算法则是什么？共轭复数概念的定义是什么？

(2)复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数的性质解决问题？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．复数代数形式的乘法法则

设z1＝a＋bi,z2＝c＋di(a,b,c,d∈R),则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

2．复数乘法的运算律

对任意复数z1,z2,z3∈C,有

交换律

z1·z2＝z2·z1

结合律

(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)

分配律

z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3

3.共轭复数

已知z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R,则

(1)z1,z2互为共轭复数的充要条件是a＝c且b＝－d.

(2)z1,z2互为共轭虚数的充要条件是a＝c且b＝－d≠0.

4．复数代数形式的除法法则：

(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．

[点睛]在进行复数除法时,分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．()

(2)若z1,z2∈C,且zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0,则z1＝z2＝0.()

(3)两个共轭虚数的差为纯虚数．()

答案：(1)×(2)×(3)√

2．若复数满足z＝i(1－i),则|z|＝()

A．1 B.eq\r(2)

C．2 D.eq\r(3)

答案：B

3．已知i是虚数单位,则eq\f(3＋i,1－i)＝()

A．1－2i B．2－i

C．2＋i D．1＋2i

答案：D

4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数,则实数x＝______,y＝________.

答案：－11

复数代数形式的乘法运算

[典例]计算下列各题．

(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)；

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.

解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i.

(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i

＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i

＝(3＋11i)(3－4i)＋2i

＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i

＝53＋21i＋2i＝53＋23i.

1．两个复数代数形式乘法的一般方法

(1)首先按多项式的乘法展开．

(2)再将i2换成－1.

(3)然后再进行复数的加、减运算,化简为复数的代数形式．

2．常用公式

(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a,b∈R)．

(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a,b∈R)．

(3)(1±i)2＝±2i.

[活学活用]

1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝()

A．2－13i B．13＋2i

C．13－13i D．－13－2i

解析：选D(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.

2．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是()

A．(－∞,1) B．(－∞,－1)

C．(1,＋∞) D．(－1,＋∞)

解析：选B因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i,

所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a),

又此点在第二象限,

所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.