高中数学同步学案 复数的几何意义 (2).docVIP

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3．1.2(2)复数的几何意义

eq\a\vs4\al([对应学生用书P31])

问题1：复数z＝a＋bi(a,b∈R)与有序实数对(a,b)有怎样的对应关系？

提示：一一对应．

问题2：有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？

提示：一一对应．

问题3：复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？

提示：由问题1,2可知能一一对应．

问题4：平面直角坐标系中的点Z与向量OZ―→有怎样的对应关系？

提示：一一对应．

问题5：复数集与平面直角坐标系中以原点为起点的向量集合能一一对应吗？

提示：由问题3,4可知能一一对应．

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,x轴的单位是1,y轴的单位是i,实轴与虚轴的交点叫做原点,原点(0,0)对应复数0.

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi有序实数对(a,b)点Z(a,b)．

3．复数的模

设＝a＋bi(a,b∈R),则向量的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值),记作|a＋bi|,且|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2).

4．共轭复数

如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则这两个复数叫做互为共轭复数．复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示,即当z＝a＋bi时,则eq\x\to(z)＝a－bi,任一实数的共轭复数仍是它本身．

1．表示实数的点都在实轴上,实轴上的点都表示实数,它们是一一对应的；表示纯虚数的点都在虚轴上,但虚轴上的点不都表示纯虚数,如原点表示实数0.

2．根据复数与复平面内的点一一对应,复数与向量一一对应,可知复数z＝a＋bi、复平面内的点Z(a,b)和平面向量之间的关系可用下图表示：

3．互为共轭复数的两个复数的模相等且在复平面内对应的点关于实轴对称．

eq\a\vs4\al([对应学生用书P32])

复数的几何意义

[例1]在复平面上,复数i,1,4＋2i的对应的点分别是A,B,C.求平行四边形ABCD的D点所对应的复数．

[思路点拨]思路一：eq\x(写出A，B，C的坐标)→eq\x(设D的坐标?x，y?)→eq\x(由AC，BD的中点重合列方程组)→eq\x(解方程组得x，y)→eq\x(得D对应的复数)

思路二：写出,的坐标→利用＝＋求的坐标→利用＝＋求的坐标→eq\x(得D对应的复数)

[精解详析]法一：由已知得A(0,1),B(1,0),C(4,2),

则AC的中点Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))),

由平行四边形的性质知E也是BD的中点,

设D(x,y)

则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,2)＝2，,\f(y＋0,2)＝\f(3,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝3.))

即D(3,3),

∴D点对应复数为3＋3i.

法二：由已知：＝(0,1),＝(1,0),＝(4,2)．

∴＝(－1,1),＝(3,2),

∴＝＋＝(2,3),

∴＝＋＝(3,3),

即点D对应复数为3＋3i.

[一点通]复数的几何意义包含两种情况：

(1)复数与复平面内点的对应：复数的实、虚部是该点的横、纵坐标,利用这一点,可把复数问题转化为平面内点的坐标问题．

(2)复数与复平面内向量的对应：复数的实、虚部是对应向量的坐标,利用这一点,可把复数问题转化为向量问题．

1．设z＝a＋bi(a,b∈R)对应的点在虚轴右侧,则()

A．a＞0,b＞0 B．a＞0,b＜0

C．b＞0,a∈R D．a＞0,b∈R

解析：复数对应的点在虚轴右侧,则该复数的实部大于零,虚部可为任意实数．

答案：D

2．写出如图所示复平面内各点所表示的复数(每个正方格的边长为1)．

解：如题图所示,点A的坐标为(4,3),

则点A对应的复数为4＋3i.

同理可知点B,C,F,G,H,O对应的复数分别为：

3－3i,－3＋2i,－2,5i,－5i,0.

3．实数x分别取什么值时,复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i对应的点Z在下列位置？

(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线x－y－3＝0上．

解：因为x是实数,所以x2＋x－6,x2－2x－15也是实数．

(1)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6＜0，,x2－2x－15＜0，))即－3＜x＜2时,点Z在第三象限．

(2)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6＞0，,x2－2x－15＜0，))

即2＜x＜5时,点Z在第四象限．

(3)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2