专项45 四点共圆（解析版）.pdfVIP

专项45四点共圆

1.四点共圆

如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点

共圆”．

2．四点共圆的性质

(1)共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等．

(2)圆内接四边形的对角互补．

(3)圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．

3．四点共圆的判定

(1)用“角”判定：

①一组对角互补的四边形的四个顶点在同一个圆上；

②一个外角等于它的内对角的四边形的四个顶点在同一个圆上；

③如果两个三角形有一条公共边，且位于公共边同侧的两个角相等，则这两个三

角形的四个顶点在同一个圆上．

(2)“等线段”判定：

四顶点到同一点的距离相等，若OA＝OB＝OC＝OD，则A，B，C，D四点共圆．

(3)用“比例线段”判定：

若线段AB，CD(或其延长线)交于点P，且PA·PC＝PB·PD，则A，B，C，D四点

共圆.

模型解读：

模型1：对角互补型：

若∠A+∠C=180º或∠B+∠D=180º,

则A、B、C、D四点共圆

模型2：同侧等角型

（1）若∠A=∠C,

则A、B、C、D四点共圆

（2）手拉手(双子型)中的四点共圆

条件：△OCD∽△OAB

结论：①△OAC∽△OBD

②AC与BD交于点E,必有∠AEB=∠AOB；

③点E在△OAB的外接圆上,即O、A、B、E四点共圆.同理：ODCE也四点共

圆.

模型3：直径是圆中最长的弦

1.定圆中最长的弦是直径；

2.经过圆中定点最短的弦是垂直于过这点直径的弦；

3.定弦中最小的圆是以该弦为直径的圆。

【模型1：对角互补型】

【典例1】如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转到正方形AEFG,连接BE,延

长BE交于CF于点M,求证：M是线段CF的中点.

【简答】∵AC=AF,AB=AE且∠BAE=∠CAF

∴△AEB∽△AFC,∴∠ABE=∠ACF,

∴A、B、C、M四点共圆,

∵∠ABC=90º,∴AC是直径,∴∠AMC=90º,

∵AE=AC,∴AM垂直且平分CF(三线合一).

【变式1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P、E分别是线段AC、BC上的

点,四边形PEFD为矩形,若AP=2,求CF的长。

【解析】∠PEF=∠PDF=∠DCE=90º,

知D,F,C,D,P共圆,如下图,由∠1=∠2,∠4=∠5,易得△APD∽△DCF,

CF:AP=CD:AD,得CF=1.5。

【模型2：同侧等角型】

【典例2】在Rt△ABC中,∠ACB=90º,将△ABC绕点A顺时针旋转αº

(0＜α＜180)得△ADE,∠AED=90º,直线BD与直线CE的交点为P.

求证：PB=PD

【解析】由旋转的性质得∠CAE=∠BAD=α,AC=AE,AB=AD,

∴∠CEA=∠ADB∴A,D,E,P四点共圆

∴∠APD=∠AED=90º∴AP⊥BD

∴PB=PD

【模型3：直径是圆中最长的弦】

【典例3】在△ABC中,∠ACB=90º,AC=6,BC=8,O为AB的中点,过O作

OE⊥OF,OE、OF分别交射线AC,BC于E、F,则EF的最小值为?

【解析】∵∠EOF=∠C=90º,∴C,O均在以EF为直径的圆上∵EF是圆的直径,O、C均在圆上,

且OC长度固定,要使EF最短,则圆最小,要使圆最小,由于OC为固定长度,则OC为直径时,

圆最小,此时EF=CO=OA=OB=5

(斜边上中线等于斜边一半)

【变式3】如图,在⊙O中,直径AB=12,点D是圆上任意一点(A,B除外),点P为CD的中点,过

点D作DE⊥AB于点E,连接AD,EP.求EP的最大值。

【解析】延长DE交⊙O于点F,连接FC,利用三角形的中位线得出PE=0.5FC.当FC为⊙O的

直径时，PE最大=6。

【随堂精练】

1．（2021秋•永泰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝

40°，将△ABC绕A点顺时针旋转得到△ADE，使D点落在BC边上．