2024-2025学年湖南省长沙市第一中学高三上学期阶段性检测（五）数学试卷含详解.docx

长沙市一中2024—2025学年度高三阶段性检测（五）

数学试卷

时量：120分钟总分：150分

一,选择题（本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合,,若,则中所有元素之和为（????）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．若复数为纯虚数,则（????）

A． B．3 C． D．5

3．已知的展开式中第3项与倒数第3项的二项式系数之和等于72,则该展开式中的常数项为（????）

A． B． C． D．

4．已知某种零件的尺寸（单位：）在内的为合格品．某企业生产的该种零件的尺寸服从正态分布,且,则估计该企业生产的2000个该种零件中合格品的个数为（????）

A．1600 B．1400 C．800 D．20

5．已知函数恰有一个零点,且,则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

6．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一,在我国有四五千年的历史,是青少年们十分熟悉的玩具如图所示的陀螺可近似看作一个圆锥与一个圆柱的组合体,圆柱和圆锥的底面半径均为6cm,高均为9cm,若该陀螺是由一个球形材料前去多余部分制成,则该球形材料的表面积的最小值为（????）

A． B．

C． D．

7．已知函数与的图象依次交于A,B,C三点,且恒有,则（????）

A．2 B．1 C． D．

8．已知四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面,,点M,N分别为线段AD,CD上一点,E为BC的中点,当取得最小值时,三棱锥的体积为（????）

A． B． C． D．

二,选择题（本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分）

9．设,是两个非零向量,下列命题正确的是（????）

A．若,则 B．若,则

C．若,则 D．若,则

10．已知为坐标原点,抛物线y2=2pxp0上有异于原点的Ax1,y1,Bx2,y2两点,为抛物线的焦点

A．若,则三点共线 B．若,则三点共线

C．若,则三点共线 D．若,则三点共线

11．设,,…,,,,…,为两组正实数,,,…,是,,…,的任一排列,我们称为这两组正实数的乱序和,为这两组正实数的反序和,为这两组正实数的顺序和.根据排序原理有,即反序和≤乱序和≤顺序和.则下列说法正确的是（????）

A．数组和的反序和为30

B．若,,其中,,…,都是正实数,则

C．设正实数,,,的任一排列为,,,则的最小值为3

D．已知正实数,,…,满足,P为定值,则的最小值为

三,填空题（本题共3小题,每小题5分,共15分）

12．已知王明在射箭游戏中射一箭中靶的概率为,若每箭是否中靶相互独立,则王明射3箭恰好有2箭中靶的概率为．

13．已知,为第二象限角,则.

14．欧拉函数的函数值等于所有不超过n且与n互质的正整数的个数（公约数只有1的两个整数称为互质整数）,例如：,.记,数列的前n项和为,若恒成立,则实数λ的取值范围为.

四,解答题（本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.）

15．在中,内角,,的对边分别为,,,且．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)若,的周长为,求的面积．

16．如图,在平行六面体中,侧面是菱形且与底面垂直,是棱的中点,是线段上一点,且,,.

??

(1)证明：侧面是矩形.

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

17．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线方程.

(2)求的单调区间.

(3)若关于的方程有两个不相等的实数根,记较小的实数根为,求证：．

18．甲,乙两人玩一个纸牌游戏,先准备好写有数字1,2,…,N的纸牌各一张,由甲先随机抽取一张纸牌,记纸牌上的数字为a,随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回）,接下来甲有2种选择：

①再抽取一次纸牌,记纸牌上的数字为b,若,则乙赢,游戏结束,否则,甲结束抽牌,换由乙抽牌一次.

②直接结束抽牌,记,换由乙抽牌一次．

记乙抽到的纸牌上的数字为c,若,则乙赢,否则甲赢．游戏结束．

(1)若甲只抽牌1次,求甲赢的概率.

(2)若甲抽牌2次,求甲赢的概率.

(3)当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时,甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式子表示）

参考公式：若数列的通项公式为,则的前n项和．

19．如图,定义：以椭圆中心为圆心,长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”,过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点,称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．

??

(1)求椭圆的方程.

(2)过点的直线与椭圆交于不同的两点,点与点关于轴对称．

（ⅰ）证明：直线恒过定点.

（ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为,若在直线上的射影分别为（,为不同的两